Exercícios Resolvidos de Função Corrente e Função Potencial

Ver Teoria

Enunciado

Considere o seguinte escoamento incompressível bidimensional, que claramente satisfaz a continuidade:

u =   U 0 = c o n s t a n t e ,   v =   V 0 = c o n s t a n t e

Encontre a função corrente ψ ( r ,   θ ) para esse escoamento usando coordenadas polares.

Passo 1

A função corrente é definida em coordenadas cartesianas como:

u = ∂ ψ ∂ y ,         v = - ∂ ψ ∂ x

Depois que acharmos a expressão de ψ ( x , y ) , mudamos as coordenadas com mudanças polares abaixo

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Passo 2

Seguindo o passo a passo, devemos escolher uma das duas equações do passo 1 para integrar. Vamos escolher a primeira:

u = ∂ ψ ∂ y → U 0 = ∂ ψ ∂ y ∴ ψ x , y = U 0 y + f ( x )

Passo 3

Agora, derivamos a expressão obtida no passo anterior com relação a outra variável que aqui é x , ou seja, calculamos

∂ ψ ∂ x

Calculando, temos

∂ ψ ∂ x = f ' ( x )

Passo 4

Usando a definição de função corrente, temos

v = - ∂ ψ ∂ x → V 0 = - f ' x ∴ f x = - V 0 x

Passo 5

Juntando tudo, temos que

ψ x , y = U 0 y - V 0 x

Passo 6

Para passar para coordenadas polares, basta fazer a mudança polar enunciada no passo 1.

ψ r , θ = U 0 r sin ⁡ θ - V 0 r cos ⁡ θ

Resposta

ψ r , θ = U 0 r sin ⁡ θ - V 0 r cos ⁡ θ

Exercícios de Livros Relacionados

13 – Um pequeno tanque de peixes é aproximado por um formato de semico
É dada a função de corrente Ψ = x 2 + 2 x y + 4 t 2 y . No instante t
No estudo analítico de um furacão, admitiu-se que o escoamento resulte
Seja um meteorito que penetra na atmosfera. Admitir em primeira aproxi