Exercícios Resolvidos de Identificando as Cônicas

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Enunciado

Passo 1

Aqui precisamos considerar a influência de a na cônica. Primeiramente, vamos simplificar a equação.

Passo 2

Temos:

q C a n = a - 1 - 1 a

Calculamos os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = a - λ - 1 - 1 a - λ = 0

a - λ a - λ - 1 = 0

λ 2 - 2 a λ + a 2 - 1 = 0

λ 1 = a + 1 λ 2 = a - 1

Logo a equação simplificada é:

a + 1 x 2 + a - 1 y 2 = 1

Passo 3

E agora?

Bem, se 0 < a < 1 , a equação fica:

x 2 k 1 2 - y 2 k 2 2 = 1

Então se trata de uma hipérbole, logo (I) é verdadeiro.

Se a = 1 :

2 x 2 = 1

x = ± 2 2

Logo temos um par de retas paralelas: (II) é verdadeiro.

Por fim, se a > 1 :

x 2 k 1 2 + y 2 k 2 2 = 1

Então temos uma elipse. (III) é verdadeiro

Resposta

b   Todas as afirmações são verdadeiras.

Exercícios de Livros Relacionados

Efetue a mudança de coordenadas (rotação de eixos) dada por x = a s − b t , y = b s + a t , onde a = c o s θ e b = s e n θ . Como fica, nas novas coordenadas s, t, a equação da circunferência x − m ²
Mostre que B ² − A C = 0 ² se, e somente se, A x ² + 2 B x y + C y ² = A x + B A y ² ² ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. f )3 x 2 + 6 x y+3 y 2 - 9 x - 6 y +6=0
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. a )36 x ²+24 x y+29 y ²-120 x+10 y-55=0 ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. b )17 x 2 - 312 x y+108 y 2 -590 x - 120 y +688=0