Exercícios Resolvidos de Identificando as Cônicas

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Enunciado

Passo 1

Apesar de não estarmos reconhecendo cônicas normalmente aqui, estamos procurando por um valor de k correspondente à degeneração da quádrica em um único ponto.E procurar degenerações é com a gente né. Aqui, novamente, a ideia é simplificar a equação.

Passo 2

Completando os quadrados:

x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 + 2 k x + 4 k z + 9 = 0

x 2 + 2 k x + k 2 + 3 y 2 + 2 z 2 + 4 k z + 2 k 2 + 9 = k 2 + 2 k ²

x + k 2 + 3 y 2 + 2 z + k 2 = 3 k 2 - 9

Fazendo a substituição:

x 2 = x 1 + k

z 2 = z 1 + k

Temos:

x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 = 3 k 2 - 9

Todos os termos da esquerda são ≥ 0 . Então, para que a solução seja única, devemos ter:

3 k 2 - 9 = 0

k = ± 3

Resposta

e   k = 3 ou k = - 3

Exercícios de Livros Relacionados

Efetue a mudança de coordenadas (rotação de eixos) dada por x = a s − b t , y = b s + a t , onde a = c o s θ e b = s e n θ . Como fica, nas novas coordenadas s, t, a equação da circunferência x − m ²
Mostre que B ² − A C = 0 ² se, e somente se, A x ² + 2 B x y + C y ² = A x + B A y ² ² ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. f )3 x 2 + 6 x y+3 y 2 - 9 x - 6 y +6=0
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. a )36 x ²+24 x y+29 y ²-120 x+10 y-55=0 ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. b )17 x 2 - 312 x y+108 y 2 -590 x - 120 y +688=0