Exercícios Resolvidos de Identificando as Cônicas

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Enunciado

Seja F ∈ R . A cônica de equação 9 x 2 + y 2 - 6 x y = 10 F 2 é :

  1. Um par de retas paralelas se e somente se F < 0 ;
  2. Um par de retas concorrentes se e somente se F > 0 ;
  3. Um par de retas paralelas se e somente se F ≠ 0 ;
  4. Um par de retas paralelas se e somente se F > 0 ;
  5. Um par de retas concorrentes se e somente se F ≠ 0 .

Passo 1

Aqui precisamos considerar a influência de F na cônica. Primeiramente, vamos simplificar a equação.

Passo 2

Temos:

q C a n = 9 - 3 - 3 1

Calculamos os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 9 - λ - 3 - 3 1 - λ = 0

9 - λ 1 - λ - 9 = 0

λ 2 - 10 λ = 0

λ 1 = 0 λ 2 = 10

Logo a equação simplificada é:

10 y 2 = 10 F ²

y 2 = F ²

Passo 3

E agora?

Bem, se F = 0 :

y 2 = 0 ⇒ y = 0

Ou seja, temos uma única reta.

Agora, se F ≠ 0 , temos:

y = ± F 2

Obs: Não tiramos o F da raiz por não sabermos se é positivo ou negativo.

De qualquer forma, teremos uma par de retas paralelas!!

Resposta

c   Um par de retas paralelas se e somente se F ≠ 0

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Efetue a mudança de coordenadas (rotação de eixos) dada por x = a s − b t , y = b s + a t , onde a = c o s θ e b = s e n θ . Como fica, nas novas coordenadas s, t, a equação da circunferência x − m ²
Mostre que B ² − A C = 0 ² se, e somente se, A x ² + 2 B x y + C y ² = A x + B A y ² ² ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. f )3 x 2 + 6 x y+3 y 2 - 9 x - 6 y +6=0
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. a )36 x ²+24 x y+29 y ²-120 x+10 y-55=0 ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. b )17 x 2 - 312 x y+108 y 2 -590 x - 120 y +688=0