Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

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Enunciado

Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y = x ,       y = 4 x ,       x y = 36

No primeiro quadrante.

Passo 1

Opaa fala aii! Vamo que vamo, senta ai, respira fundo e simbora pra nossa questão!

Quando a gente quer calcular uma área através da integral dupla, nós fazemos a integral na região da seguinte forma:

Á r e a = ∬ D d A

Fazendo um esboço da nossa região, nós temos duas retas:  y = x , y = 4 x ; e um gráfico mais estranho: x y = 36 , que vamos escrever como y = 36 x .

ps. Como ele só quer a parte no primeiro quadrante, temos algo assim:

Não dá pra escrever a região nem como tipo  1 , nem como tipo  2 , diretamente, então vamos ter que separar em dois pedaços  D 1  e  D 2 , mas calma que não é nada demais, você vai ver...

Passo 2

O primeiro pedaço vai ser até a reta de cima ( y = 4 x ) encontrar com a curva y = 36 x .

Pra achamos o valor de x quando isso acontece, nós igualamos as duas funções, assim acharemos o ponto de interseção entre as duas. Vamos ter algo assim:

4 x = 36 x

Isso nos dá que

4 x 2 = 36

Simplificando temos que

x 2 = 9

Então, podemos concluir que:

⇒ x = ± 3

Maaaaaaaaaas como estamos no primeiro quadrante, nosso x tem que ser positivo!

x = 3

Então a região é assim:

A integral vai ser assim, então:

∬ D 1 d A = ∫ 0 3 ∫ x 4 x d y d x

Passo 3

Calculando a integral que encontramos no passo anterior:

∫ 0 3 ∫ x 4 x d y d x

Começando com a integral de dentro, ficamos com

∫ x 4 x d y

Isso nos dá

y x 4 x

Substituindo y pelos limites de integração temos

4 x - x

Que nos dá

3 x

Aplicando isso na integral de fora, ficamos com

∫ 0 3 3 x d x

Ficando assim

⇒ 3 x 2 2 0 3

E enfim, chegamos à área desse primeiro pedaço.

∬ D 1 d A = 27 2

Agora só falta o outro pedaço!

Passo 4

O pedaço que estava faltando era:

Que também é tipo  1 , então vamos achar o ponto que a reta de baixo encontra a curva pra saber até onde vamos integrar em x :

Igualando a função de baixo ( y = x ), com a função de cima ( y = 36 x ) :

x = 36 x → x 2 = 36

⇒ x = ± 6

Como estamos no primeiro quadrante, temos que:

x = 6

E a integral fica, então:

∬ D 2 d A = ∫ 3 6 ∫ x 36 x d y d x

Passo 5

Agora é só calcular a integral:

∫ 3 6 ∫ x 36 x d y d x

Resolvendo a integral de dentro, em y :

∫ 3 6 y x 36 x d x

Isso fica

⇒ ∫ 3 6 36 x d x - ∫ 3 6 x d x

⇒ 36 ln ⁡ x 3 6 - x 2 2 3 6

Substituindo os valores, temos:

⇒ 36 ln ⁡ 6 - ln ⁡ 3 - 36 - 9 2

Vamos lembrar que ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b , vamos ficar com:

⇒ 36 ln ⁡ 6 3 - 27 2

= 36 ln ⁡ 2 - 27 2

E esse é o cálculo que representa a área do nosso segundo pedaço da região.

Passo 6

Agora é só somar tudo!!

Lembrando que

∬ D 1 d A = 27 2

∬ D 2 d A = 36 ln ⁡ 2 - 27 2

E que a nossa área é calculada fazendo a soma deles:

∬ D d A = ∬ D 1 d A + ∬ D 2 d A

Então ficamos com:

⇒ 27 2 + 36 ln ⁡ 2 - 27 2

⇒ 36 ln ⁡ 2

Resposta

36 ln ⁡ 2