Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

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Enunciado

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m sabendo que D é a região triangular de vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) e a densidade δ em cada ponto P = x , y ∈   D é igual à distância de P ao eixo y

Passo 1

Oie. Enunciado esquisito né? Mas vamos no passo a passo.

Pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:

m = ∬ D δ x , y d A

Portanto, para resolver esse problema, a primeira coisa que vamos precisar é determinar os limites de integração da nossa região D ! Depois é só jogar na integral, beleza? Vamos ver como!

Passo 2

O exercício diz que a nossa região D é um triângulo com os vértices 0,0 , 3,0 , 3,5 , certo? Com essa informação vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:

Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo y , o que ele está nos falando é que a densidade será igual a coordenada x de desses pontos. Isso porque é essa coordenada que dá exatamente a distância do ponto ao eixo y .

Ficou confuso? Olha esse exemplo:

Então, a densidade será escrita como:

δ x , y = x

Então, no final das contas, quem a gente realmente quer calcular é:

m = ∬ D x   d x d y

Passo 3

Agora que está tudo mais claro, vamos desenvolver o nosso problema. No nosso gráfico temos três retas delimitando a região D , duas são mais fáceis de visualizar:

R e t a   V e r m e l h a → y = 0

R e t a   A z u l → x = 3

A terceira dá para descobrir qual é! Sabemos que ela passa pelos pontos 0,0 e ( 3,5 ) , né? Então é vamos usar a equação de reta:

y = a x + b

Como temos dois ponto, vamos substituir cada um deles na equação da reta e assim vamos encontrar os coeficientes a e b .

No ponto (0,0):

0 = a . 0 + b

b = 0

No ponto (3,5):

5 = 3 a + b

5 = 3 a + 0

a = 5 3

Logo, substituindo a e b na equação original:

y = 5 x 3 → R e t a   V e r d e

Passo 4

Vendo o gráfico pelo tipo I, concluímos que os limites de integração são:

0 ≤ y ≤ 5 x 3

0 ≤ x ≤ 3

Substituindo os valores calculados na integral temos:

∫ 0 3 ∫ 0 5 x 3 x d y d x

Passo 5

Resolvendo a integral, começamos pela integral de dentro:

∫ 0 3 ∫ 0 5 x 3 x d y d x

∫ 0 3   x y y = 0 y = 5 x 3 d x =

Substituindo os limites de integração:

∫ 0 3 5 3 x 2 - 0 x 2 d x =

= 5 3 ∫ 0 3 x 2 d x

Agora vamos resolver a integral que sobrou:

5 3 x 3 3 x = 0 x = 3 = 5 3 3 3 3 - 0 3 3 = 5 3 27 3 = 15

m = 15

E assim encontramos a massa total da lâmina.

Resposta

m = 15