Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

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Enunciado

Calcule a integral dupla

I = ∫ ∫ D 1 x + y 3   d x d y  

Em que D   é a região plana:

D = x , y ∈ R 2 x ≥ 1 ,   y ≥ 1 ,   x + y ≤ 3

Passo 1

Opaaa, fala ai!! Vamos continuar nossos estudos para ficar fera na matéria!

Para resolver essa integral, precisamos saber os limites de integração! Para isso, vamos dar uma olhada na região D ?

D = x , y ∈ R 2 x ≥ 1 ,   y ≥ 1 ,   x + y ≤ 3

As desigualdades nos dizem que x e y são maiores ou iguais a 1 , e que x + y ≤ 3 , ou seja, y é menor ou igual a reta y = 3 - x . Juntando tudo temos:

Para interpretar essas desigualdades é legal colocar o dedo sobre a curva e ver o que temos: colocando o dedo sobre a reta x + y = 3 , y deve ser menor do que ela, então andamos para baixo dela! E, como x e y são maiores ou iguais a 1 , estamos em cima de y = 1 e a direita de x = 1 ;)

Passo 2

Agora, podemos ver os limites de integração da integral dupla!

Como a reta y + x = 3 , pode ser escrita como y = 3 - x , temos que y é função de x , logo, devemos integrar antes em relação a y . Além disso, vemos que y ∈ 1,3 - x Como quando y = 1 temos x = 2 (vértice direito do triângulo), temos que x ∈ 1,2 . Colocando esses limites na integral, fica:

∫ 1 2 ∫ 1 3 - x 1 x + y 3 d y d x

Passo 3

Pronto! Agora só precisamos resolver a integral ;) E o que temos é:

∫ 1 2 ∫ 1 3 - x x + y - 3 d y d x

Passo 4

Vamos começar com a integral de dentro, em relação a y :

∫ 1 3 - x x + y - 3 d y

Vamos fazer uma substituição simples

x + y = u

d y = d u

∫ u - 3 d u

u - 2 - 2

Trocando o u para na nossa expressão inicial, temos

- x + y - 2 2 1 3 - x

Substituindo os limites de integração na variável y que acabamos de integrar, ficamos com

- 3 - 2 2 + x + 1 - 2 2

Como nossos expoentes são negativos, não podemos fazer as contas com eles assim, então vamos jogar eles pra baixo pra deixá-los positivos. O que nos dá:

- 1 18 + 1 2 x + 1 2

Passo 5

Show, agora vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora!

∫ 1 2 - 1 18 + 1 2 x + 1 2 d x

Agora vamos separar em duas integrais

∫ 1 2 - 1 18 d x + ∫ 1 2 1 2 x + 1 2 d x

Pra resolvermos a segunda integral precisaremos fazer uma substituição simples. Então, vamos chamar x + 1 = u e vamos ter que d x = d u

∫ 1 2 - 1 18 d x + ∫ 1 2 u 2

Integrando, teremos:

- x 18 - 1 2 u

Lembrando que u = x + 1 , ficamos com:

- x 18 - 1 2 x + 1 1 2

Substituindo os valores dos limites na expressão, temos:

- 2 18 - 1 6 + 1 18 + 1 4

Aqui vamos tirar o m.m.c., pois precisamos que os denominadores sejam iguais:

- 4 36 - 6 36 + 2 36 + 9 36

Agora sim. Somando tudo, temos:

= 1 36

Pronto! Integral resolvida!

Resposta

1 36