Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

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Enunciado

Considere a região plana S definida por

S = x , y ∈ R 2 - e x ≤ y ≤ e x ,   0 ≤ x ≤ 2

Sejam F x , y uma função contínua definida em S , e I = ∬ S F x , y d x d y .

a) Esboce S e, ao lado, esboce o interior de S (ou seja, o conjunto aberto obtido removendo-se de S a sua fronteira).

b) Escreva a integral dupla I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e depois com respeito a x .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos lá para mais um exercício!

a) Problema bem objetivo: pegue a definição de S e a desenhe!

Como y é função de x , nesse primeiro momento, vamos trocar as desigualdades por igualdades.

Assim, temos que y está entre as curvas - e x e e x , certo? Então, só precisamos esboçar cada uma delas!

Se x está entre 0 e 2 , vamos percorrer essa faixa de valores colocando na curva e x . Tá, e que curva é essa?

Bom, como o x está no expoente, basta fazer algo que comece crescendo devagar, e dispare à medida que x cresce ;)

E o gráfico vai ficar com essa carinha aqui:

Passo 2

Show, agora temos que fazer para y = - e x , beleza? Basta desenhar uma curva simétrica à do passo anterior em relação ao eixo x , pois, para os mesmos valores de x , teremos y negativo:

Lembrando que essas curvas param quando x atinge valor 2 !

Tranquilo até agora?

Passo 3

E, para fechar a curva, basta colocar dois segmentos de reta, um para fechar em x = 2 e outro em x = 0 !

E esse é o contorno de S ! Agora, temos que colocar as desigualdades de volta!

Pense no seguinte: Se estamos na curva de cima, temos que y ≤ e x , então a região estará a baixo da curva (valores de y   menores que os valores da curva).

E, estando na curva de baixo, temos y ≥ - e x , então a região estará acima da curva (valores maiores que a curva).

Assim, S é a curva que traçamos aí em cima, mais o interior dela! Essa dica ajuda muito na hora de ver regiões mais estranhas de integração ;)

Passo 4

Agora, o problema ainda pede pra tirarmos a fronteira de S , ou seja, temos que esboçar apenas seu interior, certo? Então, só preencher, lembrando de excluir o contorno. E nossa região será representada por:

Passo 5

b) Agora é hora de escrever a integral, vamos lá!

Temos x variando entre 0 e 2 , e y variando entre as duas funções de x , - e x e e x . Assim, colocando primeiro em relação a y e depois a x (como deve ser, porque y é função de x !), temos:

I = ∫ 0 2 ∫ - e x e x F x , y d y d x

Tranquilinho né? Hehe espero que sim!

Resposta

a) Contorno:

b)  

I = ∫ 0 2 ∫ - e x e x F x , y d y d x