Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

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Enunciado

Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

1. vendo Ω   como domínio de tipo 1

Passo 1

Falaa aí! Tudo certinho? Espero que sim porque vamos seguir com nosso estudo para ficar fera nessas integrais duplas do tipo 1!! 😊

Pra nossa sorte, a questão está pedindo pra gente simplesmente escrever a integral como uma integral do tipo 1, e não resolvê-la.

Então vamos lá. Precisamos lembrar que para escrever como uma integral do tipo 1, queremos o x variando entre constantes, enquanto o y   varia entre funções, certo?

Bom, para isso então, vamos precisar separar em duas regiões:

Temos à direita a região destacada laranja e a região à esquerda destacada de rosa. Precisamos fazer isso porque a função que está na parte de baixo da região muda exatamente no ponto com x = 2 .

E quando fazemos isso, estamos matematicamente ajeitando nossa integral desse jeitinho aqui:

∬ Ω x + y d A = ∬ r o s a x + y d A + ∬ l a r a n j a x + y d A

Passo 2

Vamos começar vendo nossa região rosa!

Se você for observar, podemos escrever que x varia na região rosa de 0   a   2

Já para y , temos que ela está variando desde a curva de baixo (que é a curva B ) até a curva de cima (que é a curva A ) .

Então nossa integral da curva rosa pode ser escrita assim:

∫ 0 2 ∫ B A x + y   d y d x

Então vamos achar quem são essas funções B e A em relação a y

Para A temos essa equação dada no enunciado:

x - 3 2 + y 2 = 9

Isolando y 2 , temos

y 2 = 9 - x - 3 2

Tirando a raiz quadrada dos dois lados temos

y = ± 9 - x - 3 2

(só vamos usar a parte positiva porque é a parte superior da nossa circunferência A)

y = 9 - x - 3 2

Fazendo a mesma coisa para B , temos que

y = 1 - x - 1 2

Então, achamos nossos limites! Nossa integral fica assim:

∬ r o s a x + y d A = ∫ 0 2 ∫ B A x + y   d y d x

∫ 0 2 ∫ 1 - x - 1 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x

Passo 3

Agora para região laranja temos isso aqui

Se você for observar, podemos escrever que x varia na região laranja de 2   a   6 .

Quanto à variação de y , observamos que na região laranja vai de C até A.

Da mesma maneira que encontramos a função de A , vamos fazer para C :

x - 4 2 + y 2 = 4

Isolando y 2

y 2 = 4 - x - 4 2

Tirando a raiz quadrada temos

y = ± 4 - x - 4 2

(Maaaas se liga, como é a parte inferior da nossa circunferência C só vamos usar a parte negativa)

Então ficamos com:

y = - 4 - x - 4 2

Escrevendo a integral então ficamos:

∬ l a r a n j a x + y d A = ∫ 2 6 ∫ C A x + y   d y d x = ∫ 2 6 ∫ - 4 - x - 4 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x

Passo 4

Agora que já achamos as integrais das nossas duas áreas, vamos somá-las, lembrando que:

∬ Ω x + y d A = ∬ r o s a x + y d A + ∬ l a r a n j a x + y d A

Então temos isso aqui:

∬ Ω x + y d A = ∫ 0 2 ∫ 1 - x - 1 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x + ∫ 2 6 ∫ - 4 - x - 4 2 9 - x - 3 2 x + y   d x d y

Ufaaa! Prontinho, pessoal. Como o enunciado diz só para reescrever, não precisamos calcular (ainda bem né? Kk)

Resposta

∫ 0 2 ∫ 1 - x - 1 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x + ∫ 2 6 ∫ - 4 - x - 4 2 9 - x - 3 2 x + y   d x d y