Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

Ver Teoria

Enunciado

Determine o esboço da região do plano x y sobre a qual a integral é calculada:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

Passo 1

Fala aí pessoal. Tudo certinho com vocês?

Bom o primeiro passo para resolver uma questão é sempre entender o que ela está pedindo, certo?

Aqui temos uma integral dupla, o que significa que ela será calculada sobre duas variáveis diferentes, a x e a y . Mas o que o enunciado quer é que a gente diga como é a região de integração. Então, o que temos que analisar são os limites de integração de x e de y que estão na integral dada.

Bora começar olhando o intervalo de integração que temos para x , ou seja, o intervalo da integral de fora:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f x , y d y     d x

Com a separação das integrais, vemos que a que ficou na parte de fora dos colchetes está sendo calculado com o d x , então, assim podemos identificar os limites de integração em x que são:

1 ≤ x ≤ 2

Como o enunciado pediu pra gente determinar no plano x y o esboço dessa região, já vamos delimitar lá no plano os valores de x , que acabamos de identificar.

Agora já sabemos que no gráfico a região vai ficar entre essas duas retas fica assim:

Passo 2

Agora vamos olhar para os limites em y , ou seja, a integral de dentro:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f x , y d y     d x

Veja que os limites indicam que nosso y estão entre as curvas:

x 2 ≤ y ≤ 4 x - x 2

Isso quer dizer que temos as curvas y = x 2 e y = 4 x - x 2 limitando nossa região. A primeira é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem:

Agora vamos ver a outra curva, y = 4 x - x 2 .

Passo 3

Como temos y de um lado e x 2 do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de x 2 . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo 4 x , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor como ficará esse gráfico, beleza?

y = 4 x - x 2 = 0

Aqui podemos isolar o x colocando ele em evidência:

x 4 - x = 0

Isso ajuda a gente a resolver mais rápido, pois temos uma multiplicação de x por 4 - x   dando zero. Isso só pode acontecer se um deles for zero. Então, temos duas possibilidades

x = 0

Ou,

4 - x = 0

- x = - 4

x = 4

Passo 4

Com as nossas duas soluções:

x = 0 x = 4

Essas soluções dizem pra gente onde a nossa parábola vai cortar o eixo x .

Temos que ela passa, então, pelos pontos ( 0,0 ) e ( 4,0 ) . Vamos desenhar isso aqui:

Passo 5

Show de bola, temos tudo desenhado, agora vamos identificar a região de integração, lembrando que:

1 ≤ x ≤ 2

E

x 2 ≤ y ≤ 4 x - x 2

Vamos pintar a região que fica limitada por essas curvas:

E essa é nossa região de integração. Show!!

Resposta

1 ≤ x ≤ 2 e x 2 ≤ y ≤ 4 x - x 2

Com: