Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

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Enunciado

Calcule a integral

∫ 0 8 ∫ y 1 3 2 1 1 - x 4 d x d y

Passo 1

Opa, fala ai! Vamos continuar com nossos exercícios!

Deveríamos começar a questão pela integral de dentro   ∫ 1 - x 4 d x , mas ela não parece muito simples em primeiro momento.

Vamos, então, tentar mudar essa ordem de integração para ver se a integral fica mais fácil. Mas não podemos apenas inverter as letrinhas ali não viu! Vamos com calma.

Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Temos y variando de 0 a 8 e x entre x = y 3 2 e 1 . Você não sabe desenhar a curva x = y 3 2 ?

Faça assim: substitua y = 0 e y = 8 na equação e encontre os valores correspondentes de x (teremos x = 0 e x = 1 ).

Seu gráfico não precisa ficar perfeito, só precisamos saber que a região de integração tem essa cara:

Passo 2

Agora vamos reescrever essa região como tipo I, lembrando que quando escrevemos a região do tipo I a gente quer que x varie entre constantes e y   varie entre funções de x .

Pelo próprio gráfico, vemos que x varia entre 0 e 1 , portanto 0 ≤ x ≤ 1 .

Já o valor de y varia entre 0 e a curva vermelha, vamos escrevê-la em função de x (isolando o y ):

x = y 3 2

y 3 = 2 x

Elevando os dois lados ao cubo, temos

y = 2 x 3

E isso nos dá:

y = 8 x 3

E assim nossa região de integração será:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 8 x 3 }

Passo 3

Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ 0 8 x 3 1 - x 4 d y d x

Nossa, bem mais tranquilo né? 😊

Passo 4

Vamos, agora, partir pra cima dessa integral!

Começando pela integral de dentro

∫ 0 1 ∫ 0 8 x 3 1 - x 4 d y   d x

Olhando só pra ela, temos:

∫ 0 8 x 3 1 - x 4 d y

Como estamos integrando isso em relação a y , essa raiz funciona como uma constante e pode ser jogada pra fora da integral, ficando com

1 - x 4 ∫ 0 8 x 3 1 d y

Agora podemos integrar, e isso nos dá:

1 - x 4   y | 0 y = 8 x 3

Então nossa integral de dentro é

8 x 3 ⋅ 1 - x 4

Passo 5

Vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora, ficando com

∫ 0 1 8 x 3 1 - x 4 d x

Para resolver essa integral, não se assuste! Vamos usar o nosso método de substituição simples e vamos falar que:

1 - x 4 = u

Derivando dos dois lados, temos que

- 4 x 3 d x = d u

Então ficamos com

d x = d u - 4 x 3

∫ 8 x 3 u d u - 4 x 3  

Simplificando isso temos

∫ - 2 u   d u  

Passo 6

Agora, para não termos que ficar indo e voltando com a substituições, podemos acertar os limites de integração para ficar em função de u

Temos que quando x = 0 (nosso limite inferior)

x = 0 → u = 1 - 0 4 = 1

E quando x = 1 (nosso limite superior)

x = 1 → u = 1 - 1 4 = 0

Passo 7

Então nossa integral passa a ser:

∫ 1 0 - 2 u   d u  

Podemos tirar o - 2 da integral por ser uma constante, e ficamos com

= - 2 ∫ 1 0 u d u =

Aqui vamos lembrar que u = u 1 2   . Integrando em relação a u , temos:

- 2 ∫ 1 0 u 1 2 d u

- 2 . 2 3 u 3 2 1 0

Substituindo os limites temos:

- 4 3 ( 0 - 1 )

Que nos dá

= - 4 3 ⋅ - 1

= 4 3

E encontramos o resultado da nossa integral.

Resposta

4 3