Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

Ver Teoria

Enunciado

Sendo D a região plana delimitada pelas curvas dadas pela equação y = 0 x = π 4 e y = x , calcule

∬ D x cos ⁡ y x   d A

Passo 1

Opa, vamos lá.

Pra facilitar a vida da gente, é legal a gente começar entendendo que região é essa que estamos trabalhando, pra isso nós desenhamos os gráficos de cada curva dada pelo enunciado.

Em azul temos y = 0 , em vermelho temos x = π 4 e y = x em verde!

Bom, só com isso a gente já tá com um bom caminho andando! Agora vamos descrever essa região que a gente tá vendo. Se você for observador, nosso x varia de zero até π 4 ,

0 ≤ x ≤ π 4

e nosso y varia de zero até a função que está em cima, que é y = x .

0 ≤ y ≤ x

Show, então vamos escrever isso na integral.

Passo 2

Nosso passo 2 agora vai ser escrever o que a gente observou. Como vamos ficar?

∫ 0 π 4 ∫ 0 x x cos ⁡ y x   d y d x

Lembrando de colocar a variável que está limitada por funções pra ser a integral de dentro (no caso o y ), e a variável que está variando entre números pra ser a integral de fora (no caso o x ).

Passo 3

Por último, mas não menos importante, vamos resolver essa parada, depois é só correr pra o abraço. A nossa integral é

∫ 0 π 4 ∫ 0 x x cos ⁡ y x   d y d x

Começando pela integral de dentro, temos que

∫ 0 x x cos ⁡ y x   d y

Vamos ter que fazer uma substituição simples, fazendo isso aqui

y x = u

Derivando em relação a y , temos

x d y = d u

d y = d u x

Então ficamos com

∫ x cos ⁡ u d u x

Podemos simplificar a u , ficando com

∫ cos ⁡ u d u

Agora fica mais fácil de integral. Integrando isso daí, temos:

s e n ( u )

Voltando para u = y x , ficamos com:

[ s e n y x ) 0 x

Substituindo os limites de integração, temos:

s e n x ⋅ x - s e n 0 ⋅ x

O que nos dá:

s e n x - s e n 0

E isso fica

s e n x

Passo 4

Agora pegando isso e colocando na integral de fora, ficamos com:

∫ 0 π 4 s e n x d x

Integrando:

- cos ⁡ x 0 π 4

Aplicamos os limites de integração:

- cos ⁡ π 4 - - cos ⁡ 0

Isso fica

cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 4

Isso dá pra gente:  

= 1 - 2 2

E assim conseguimos resolver a integral sob a região dada.

Resposta

1 - 2 2