Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas

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Enunciado

Considere duas ondas sonoras, A e B , de mesma amplitude, s m , que se propagam da esquerda para a direita seguindo dois diferentes percursos (ver figura). As duas ondas têm o mesmo comprimento de onda, λ , e estão inicialmente em fase. A onda A é refletida por 4 superfícies espaçadas por distâncias L , como indica a figura, mas volta a se propagar na direção e no sentido original. No final, A e B se superpõem produzindo um fenômeno de interferência. Obtenha, em função de L , os dois maiores valores de λ para que a interferência entre A e B seja:

  1. completamente destrutiva;
  2. completamente construtiva;
  3. Obtenha a diferença de fase, ϕ , entre A e B no final dos percursos, em função de λ e L .
  4. Escreva a amplitude da onda resultante, s R m , em função da amplitude s m de cada onda e da diferença de fase ϕ .
  5. Calcule, em função de L , o maior valor de λ para que a amplitude resultante seja igual à amplitude de cada onda, separadamente.

Passo 1

a) Na interferência destrutiva, temos que a diferença de fase é ± 180 °

∆ ϕ = 180 ° , ou ∆ ϕ = 2 n + 1 π

No nosso exercício é possível observar na figura que L A - L B = 2 L , portanto:

2 L = 2 n + 1 λ 2 , com n = 1,2 , . .

Rearranjando a equação acima, temos:

λ = 4 L 2 n + 1

Ao substituir valores para n , vemos que os dois maiores valores de λ se dá quando n = 1 e n = 2 , com λ = 4 L 3 e λ = 4 L 5 , respectivamente.

Passo 2

b) Quando a interferência é construtiva:

∆ ϕ = 2 n π ou 2 L = n λ

Seguindo o mesmo procedimento anterior e calculando para n = 1 , obtemos λ = 2 L , e quando n = 2 , λ = L .

Passo 3

c) Bom pessoal, lembra de quando estudamos diferença de fase entre duas ondas?!

Pois bem, lá na nossa teoria diz que a diferença de fase entre A e B se dá por:

ϕ = k L A - k L B = k L A - L B

E como k = 2 π λ , obtemos:

ϕ = 2 π 2 L λ = 4 π L λ

Passo 4

d) Bom, amplitude da onda é descrita da forma:

s 1 x , t = s m s e n k x - w t + ϕ ;

s 2 x , t = s m s e n k x - w t ;

Onde, ϕ = k L A - L B = 2 k L

Portanto, substituindo ϕ e somando as equações:

s 1 + s 2 = 2 s m c o s ϕ 2 s e n k x - ω t + ϕ 2

s R m = 2 s m c o s ϕ 2 = 2 s m cos ⁡ 2 π L λ

Passo 5

e) O maior valor de λ se dá quando a amplitude da onda resultante ( s R m ) for igual a amplitude da onde s m .

Para isso utilizando da última equação descrita no passo 4, temos:

s R m = s m

s R m = 2 s m cos ⁡ 2 π L λ

2 s m cos ⁡ 2 π L λ = 1

λ = 6 L

Resposta

A)   λ = 4 L e λ = 4 L 3

B)     λ = 2 L e λ = L

C)   ϕ = 4 π L λ

D) s R m = 2 s m cos ⁡ 2 π L λ

E) λ = 6 L

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