Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas

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Enunciado

  1. Escreva, literalmente, a expressão de uma onda harmônica progressiva unidimensional, propagando-se no sentido positivo do eixo x, em termos da amplitude A , da frequência f e do comprimento de onda λ .
  2. A partir dessa expressão, determine a velocidade máxima com que um elemento do meio se movimenta.
  3. Suponha que esta onda se superponha a outra de mesma amplitude, mesma frequência e mesmo comprimento de onda, mas se propagando em sentido contrário. Use o Princípio da Superposição e mostre o aparecimento de nós ao calcular a expressão resultante da interferência das duas ondas.
  4. Se as duas ondas de mesma amplitude A , mesma frequência e comprimento de onda se propagam no mesmo sentido, qual deve ser a diferença de fase entre elas para que a amplitude da onda resultante seja A ?

Passo 1

A expressão é:

y x , t = A s e n ( k x - ω t + φ )

Onde:

k = 2 π λ ( Número de onda)

ω = 2 π f (frequência angular)

φ :   Fase inicial.

Podemos escrever essa expressão assim também:

y x , t = A s e n 2 π λ x - 2 π f t + φ = A s e n 2 π x λ - f t + φ

Passo 2

b):

Bom, a velocidade máxima vai ser a máxima taxa de variação de y . Logo, vai ser o máximo de:

∂ y x , t ∂ t = - ω A c o s ( k x - ω t + φ )

Essa é a chamada velocidade transversal de uma onda. Essa expressão tem um máximo quando a parte do cosseno se iguala à 1. Com isso igualado à 1, fica:

∂ y x , t m á x ∂ t = - ω A = - 2 π f A = v m á x

v m á x = 2 π f A

Passo 3

c):

Vamos lá:

y 1 x , t + y 2 x , t = A s e n k x - ω t + φ 1 + A s e n ( k x + ω t + φ 2 )

Ali encima, uma expressão tem + no ω e uma tem porque possuem sentidos diferentes. As fases iniciais também são diferentes.

Usando a fórmula de soma dos senos: sen ⁡ α + sin ⁡ β = 2 . sen ⁡ 1 2 α + β . cos ⁡ 1 2 α - β

Vamos chegar à expressão:

y 1 x , t + y 2 x , t = 2 A s e n k x + φ 1 + φ 2 2 cos ⁡ ω t + φ 2 - φ 1 2

Os nós aparecem pros valores de x que geram y x , t = 0 . Pra isso, x tem que respeitar a relação:

k x + φ 1 + φ 2 2 = 0

Passo 4

d):

Nesse caso:

y 1 x , t + y 2 x , t = A s e n k x - ω t + φ 1 + A s e n ( k x - ω t + φ 2 )

Note que o sinal na frente de ω é igual pros dois. Usando as fórmulas da soma dos senos:

sen ⁡ α + sin ⁡ β = 2 . sen ⁡ 1 2 α + β . cos ⁡ 1 2 α - β

Vamos ter:

y 1 x , t + y 2 x , t = 2 A c o s φ 2 - φ 1 2 s e n ( k x - ω t + φ 2 + φ 1 2 )

Queremos que a amplitude resultante seja A , ou seja:

2 A c o s φ 2 - φ 1 2 = A ↔ c o s φ 2 - φ 1 2 = ∓ 1 2  

φ 2 - φ 1 2 = ∓ π 3

Ou

φ 2 - φ 1 2 = ∓ 2 π 3

Isso leva à:

φ 2 - φ 1 = ∓ 2 π 3 , ∓ 4 π 3

Obs: Restringimos os valores ao intervalo ( - π , π ) .

Resposta

a):

A s e n 2 π x λ - f t + φ

b):

v m á x = 2 π f A

c):

φ 2 - φ 1 = ∓ 2 π 3 , ∓ 4 π 3

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