Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas

Ver Teoria

Enunciado

Duas ondas descritas pelas funções y i ( x , t ) = A i   c o s ( k x - ω t + δ i ) , onde i   =   1,2 , interferem. Seja I i a intensidade de uma das ondas. Considere também I m a x e I m i n como os valores de interferência construtiva máximo e destrutiva mínimo. Em qual dos casos abaixo a intensidade da onda resultante NÃO é igual à 3 I 1 ?

(a) I 1 = I 2   , δ 1 = π / 2 e δ 2 = π / 6 .

(b )   I m a x + I m i n = 6 I 1   ,   δ 1 = π / 2   e   δ 2 = 0 .

(c) I m i n = I 1   ,   δ 1 = 2 π / 3 ,   δ 2 = 4 π / 3 .

(d) I m a x = 4 I 1   ,   δ 1 = - δ 2 = π / 6 .

(e) I m a x = I 1   ,   δ 1 = - δ 2 = π / 4 .

(f) I m a x = 3 I 1   ,   δ 1 = δ 2 + 2 π .

(g) Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

A intensidade de uma onda é

I = 1 2 μ v ω 2 A 2

Quando duas ondas se interferem, a intensidade resultante é

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ⁡ δ 1 - δ 2

O I m i n e I m a x , vão ocorrer quando o cosseno for - 1 ou 1 , respectivamente.

I m a x = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2

I m i n = I 1 + I 2 - 2 I 1 I 2

Queremos encontrar a alternativa em que

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ⁡ δ 1 - δ 2 ≠ 3 I 1

Passo 2

Queremos um caso em que a intensidade resultante não seja igual a 3 I 1 . Temos que testar os casos:

(a) I 1 = I 2   , δ 1 = π / 2 e δ 2 = π / 6 .

Aqui,

Δ δ = δ 1 - δ 2 = π 2 - π 6 = π 3

E, sabendo que c o s ⁡ ( π / 3 ) = 1 / 2 :

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 1 2 = I 1 + I 2 + I 1 I 2  

Como I 1 = I 2 :

I = I 1 + I 1 + I 1 2 = 3 I 1

Então não é essa alternativa. :(

Passo 3

(b )   I m a x + I m i n = 6 I 1   ,   δ 1 = π / 2   e   δ 2 = 0 .

Aqui Δ δ = π / 2 e c o s ⁡ ( π / 2 ) = 0 , então:

I = I 1 + I 2

Usando I m i n + I m a x = 6 I 1 :

I m a x + I m i n = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 + I 1 + I 2 - 2 I 1 I 2 = 6 I 1

2 I 1 + I 2 = 6 I 1

I 1 + I 2 = 3 I 1

Jogando isso na intensidade:

I = I 1 + I 2 = 3 I 1

Não é essa também.

Passo 4

(c) I m i n = I 1   ,   δ 1 = 2 π / 3 ,   δ 2 = 4 π / 3 .

Nosso Δ δ = 2 π / 3 - 4 π / 3 = 2 π / 3 , e c o s ⁡ ( 2 π / 3 ) = - 1 / 2 :

I = I 1 + I 2 - I 1 I 2

Como I m i n = I 1 :

I m i n = I 1 + I 2 - 2 I 1 I 2 = I 1

I 2 = 2 I 1 I 2

Elevando ao quadrado dos dois lados:

I 2 2 = 4 I 1 I 2

I 2 = 4 I 1

Jogando na intensidade:

I = I 1 + 4 I 1 - 4 I 1 2 = 5 I 1 - 2 I 1 = 3 I 1

Ainda não é essa!

Passo 5

(d) I m a x = 4 I 1   ,   δ 1 = - δ 2 = π / 6 .

Temos que Δ δ = δ 1 - δ 2 = π / 3 , e que cos ⁡ π / 3 = 1 / 2 :

I = I 1 + I 2 + I 1 I 2

Como I m a x = 4 I 1 :

I m a x = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 = 4 I 1

2 I 1 I 2 = 3 I 1 - I 2

Elevando ao quadrado dos dois lados:

4 I 1 I 2 = 9 I 1 2 - 6 I 1 I 2 + I 2 2

9 I 1 2 - 10 I 1 I 2 + I 2 2 = 0

Isso dá pra resolver por bhaskara! Mas estamos perdendo muito tempo nessa alternativa!

Na prova, o ideal seria você pular essa e testar as próximas, e só voltar pra cá caso as outras não dessem certo!

Vou te mostrar aqui o resultado caso você esteja curioso!

I 1 = 10 I 2 ± 100 I 2 2 - 36 I 2 2 18 = 10 ± 8 18 I 2

Para

I 1 = 10 + 8 18 I 2 = I 2

Então, I = I 1 + I 1 + I 1 I 1 = 3 I 1 .

O que já invalidaria essa alternativa!

Para a outra resposta,

I 1 = 10 - 8 18 I 2 = 1 9 I 2

Então, I 2 = 9 I 1 , I = I 1 + 9 I 1 + 9 I 1 2 = 13 I 1 .

O que seria correta, se não fosse a ambiguidade de respostas dessa alternativa.

Passo 6

(e) I m a x = I 1   ,   δ 1 = - δ 2 = π / 4 .

Temos que Δ δ = δ 1 - δ 2 = 2 δ 1 = π / 2 e que c o s ⁡ ( π / 2 ) = 0 :

I = I 1 + I 2

Como I m a x = I 1 ,

I m a x = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 = I 1

I 2 = - 2 I 1 I 2

I 2 2 = 4 I 1 I 2

I 2 = 4 I 1

Jogando na intensidade

I = I 1 + 4 I 1 = 5 I 1

TEMOS AQUI NOSSA RESPOSTA! :)

Passo 7

(f) I m a x = 3 I 1   ,   δ 1 = δ 2 + 2 π .

Temos Δ δ = 2 π , cos ⁡ 2 π = 1 :

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2

Usando I m a x = 3 I 1 :

I m a x = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 = 3 I 1

Repare que a expressão de I m a x   é idêntica à expressão da intensidade resultante, então

I = I m a x = 3 I 1

Ou seja, não é a resposta!

Resposta

(e) I m a x = I 1   ,   δ 1 = - δ 2 = π / 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Uma onda senoidal de frequência angular 1200r a d / s e amplitude 3,00m m é produzida em uma corda de massa específica linear 2,00g / m e 1200N de tensão. (a) Qual é a taxa média com a qual a energia
Duas ondas são descritas por: y 1 = 0,30 s e n [ π ( 5 x - 200 t ) ] y 2 = 0,30 s e n [ π 5 x - 200 t + π 3 ] Onde y 1 , y 2 e x estão em metros e t está em segundos. Quando as duas ondas são combinad
Duas ondas se propagam na mesma corda: y 1 x , t = 4,60m m sen ⁡ ( 2 π x - 400 π t ) y 2 x , t = 5,60m m sen ⁡ ( 2 π x - 400 π t + 0,80 πr a d ) Qual é (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase (em relaç
Dois diapasões são tocados e os sons dos dois chegam simultaneamente aos seus ouvidos. Um som tem uma frequência de 256 H z , enquanto o outro tem uma frequência de 258 H z . A frequência do zumbido q
Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Para a onda 1 , y m = 3,0 m m e ϕ = 0 ; para a onda 2 , y m = 5,0 m m e ϕ = 70 ° . Qual é (a) a am