Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2014.1 – Questão 3

Duas ondas harmônicas de mesmas frequências e número de onda interferem. A potência media de cada uma delas é 10   W . Qual deve ser a diferença de fase entre elas para que a onda resultante tenha potência média igual a 30   W ?

  1. 0   r a d
  2. π / 6   r a d
  3. π / 4   r a d
  4. π / 3   r a d
  5. π / 2   r a d
  6. Não há resposta, pois a potencia média resultante não pode ser maior que a soma das potencias medias individuais.

Passo 1

Queremos saber a diferença de fase entre as ondas.

Sabemos que elas tem o mesmo k e o mesmo ω .

Então as equações das ondas são:

y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1

y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

Não sabemos para onda elas se propagam mas isso não vai interferir.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O problema nos diz que as ondas tem o mesmo valor de potência média, separadamente.

Lembrando que potência média é dada por:

P = 2 μ v π A f 2

Para as duas ondas, temos os mesmos valores de f e v , pois as ondas tem comprimentos de onda iguais (mesmo valor de k ).

Além disso, μ também é igual, pois as ondas se propagam na mesma corda.

Igualando as potências das ondas, temos:

P 1 = P 2

2 μ v π A 1 f 2 = 2 μ v π A 2 f 2

⇒ A 1 = A 2

Logo, as amplitudes também são iguais:

A 1 = A 2 = A

Passo 3

Como temos valores iguais de k , ω e A , então a onda resultante é dada por:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 sen ⁡ k x - ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

E a amplitude resultante é, portanto:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Agora, podemos calcular a potência da onda resultante e comparar com a potência de cada onda sozinha, para descobrir o valor de Δ ϕ , que é o que queremos.

Passo 4

Calculando a potência da onda resultante:

P r e s = 2 μ v π A r e s f 2

Os valores de v e f são os mesmos que usamos para calcular a potência de cada onda sozinha, pois a onda resultante também tem número de onda k e frequência angular ω .

Além disso, μ também tem o mesmo valor, pois a corda é a mesma.

Então, só o valor da amplitude muda.

O problema nos diz que:

P 1 = P 2 = 10   W

P r e s = 30   W

Logo:

P r e s = 3 P 1

Passo 5

Substituindo fórmulas:

P r e s = 3 P 1

⇒ 2 μ v π A r e s f 2 = 3 × 2 μ v π A f 2

Simplificando:

π A r e s f 2 = 3 π A f 2

Tirando a raiz quadrada nos dois lados:

π A r e s f = 3 π A f

⇒ A r e s = 3 A

Passo 6

Substituindo A r e s :

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

⇒ 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 A

⇒ cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 2

O ângulo cujo cosseno é 3 / 2 é 30 ° (ou π / 6 ):

Δ ϕ 2 = π 6

⇒ Δ ϕ = π 3

Resposta

Letra D

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