Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas

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Enunciado

As duas ondas a seguir se propagam em uma corda horizontal:

y 1 ( x , t ) = 6,0   m m s e n   ( 4,0 π x - 400 π t )

y 2 ( x , t ) = 6,0   m m s e n   ( 4,0 π x +   400 π t )

onde x está em metros e t em segundos.

a) Calcule o padrão de onda resultante na corda. Que tipo de padrão é este? Justifique.

b) Suponha que um antinó do padrão esteja localizado no ponto A. No intervalo de tempo que

este ponto leva para passar da posição de deslocamento máximo para cima para a posição de

deslocamento máximo para baixo, qual é o deslocamento de cada onda ao longo da corda?

Passo 1

a) Se as duas ondas se propagam na mesma corda, elas vão interferir. A onda resultante será a soma das ondas individuais.

y = y 1 + y 2

y = 6   [ s e n 4 π x - 400 π t + s e n ( 4 π x + 400 π t ) ]

Mas como fazer a soma de dois senos? Temos que usar aquelas relações trigonométricas (que vão estar escritas em algum lugar na sua prova).

s e n a + s e n b = 2 s e n a + b 2 cos ⁡ a - b 2

Passo 2

Fazendo

a = 4 π x + 400 π t

b = 4 π x - 400 π t

Então,

y = 6 ∙ 2 s e n 4 π x + 400 π t + 4 π x - 400 π t 2 cos ⁡ 4 π x + 400 π t - 4 π x + 400 π t 2  

Assim, chegamos na onda resultante:

y ( x , t ) = 12   s e n ( 4 π x ) c o s ⁡ ( 400 π t )

Repare que a onda resultante não é função de k x - ω t . Como chamamos esse tipo de onda mesmo? Onda Estácionaria!

Passo 3

b) Queremos saber o quanto essa onda andou ao longo da corda entre passar por um máximo e por um mínimo.

O período (T) é o tempo para ir de um máximo e voltar para o máximo. Então, para ir para de um máximo para um mínimo, vai ser apenas metade disso.

Δ T = T 2

Para saber o quanto ela se deslocou, basta sabermos a velocidade da onda, pois

v = Δ x Δ t

Δ x = v Δ t = v T 2

Passo 4

Repare que para ambas as ondas nessa corda,

y x , t = A   s e n ( k x ± ω t )

Onde A = 6,0   m m , k = 4 π   m - 1 e ω = 400 π   r a d / s . Onde ω = 2 π f e k = 2 π / λ .

Podemos, descobrir o período,

ω = 2 π f = 2 π T

T = 2 π ω = 2 π 40 0 π = 1 200   s

E também podemos descobrir a velocidade dessas ondas, usando a seguinte relação:

v = λ f = ω k

v = 400 π 4 π = 100   m / s

Passo 5

Juntando tudo, o deslocamento que desejamos descobrir será

Δ x = v T 2

Δ x = 100 1 200 2 = 100 400

Δ x = 0,25   m

Resposta

a)   y ( x , t ) = 12   s e n ( 4 π x ) c o s ⁡ ( 400 π t ) . Onda estacionária.

b) 0,25 m

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