Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Variância Populacional

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Enunciado

Uma amostra de tamanho 81 é extraída de uma população infinita, com distribuição normal com média μ e variância σ 2 . Obtiveram-se com base nos dados desta amostra, dois intervalos de confiança para μ a nível 95 % e 98 % , sendo os limites superiores destes intervalos iguais a 20.663   e   20,791 , respectivamente. Neste caso, a média amostral e variância da população valem, respectivamente

  1. 9 e 20
  2. 21 e 81
  3. 18 e 9
  4. 20 e 3
  5. 20 e 9

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de estatística. Calcular a média e variância de uma população, mas sabemos que em uma amostra de tamanho 81 obtiveram-se dois intervalos de confiança para μ a nível 95 % e 98 % , sendo os limites superiores destes intervalos iguais a 20.663   e   20,791 . Mas como usamos essas informações para calcularmos a média e a variância ?

Bem, vamos revisar a definiç��o de intervalo de confiança. O intervalo de confiança para a média amostral é definido por

[ x _ - Z α / 2 σ n , x _ + Z α / 2 σ n ]

Onde α / 2 é o nível de confiança. E Z α / 2 coeficiente de confiança. Que pode ser encontrado utilizando a tabela Z

Como temos dois níveis de confiança 95 %   e   98 % . temos que os limites superiores desses intervalos de confiança são dados por

x _ + Z 95 % / 2 σ n

x _ + Z 98 % / 2 σ n

Mas sabemos quem é n . É o número de amostras que no nosso caso é 81 . Então chegamos a duas equações

x _ + Z 95 % / 2 σ 9 =   20.663  

x _ + Z 98 % / 2 σ 9 = 20,791

Passo 2

Agora, precisamos calcular Z 95 % / 2 e Z 98 % / 2

Z 95 % / 2 = Z 0.475

Pela tabela Z , esse valor é:

= 1,96

Z 0.49 = Z 0.49

= 2,302

Substituindo nas nossas equações

x _ + Z 95 % / 2 σ 9 =   20.663  

x _ + Z 98 % / 2 σ 9 = 20,791

Então temos

x _ + 1.96 σ 9 =   20.663  

x _ + 2.34 σ 9 = 20,791

Subtraindo as duas equações temos:

( 2.33 - 1.96 ) σ 9 = 20,791 - 20.663

⇒ 0.342 σ 9 = 0.128

σ ≃ 3

Passo 3

Se σ = 3 , então σ 2 = 9 . Substituindo essa valor em uma das equações

x _ + 1.96 σ 9 =   20.66

x _ + 1.96 3 9 =   20.66

x _ =   20.66 - 0,65333 . . .

⇒ x _ ≃ 20

Ou seja descobrimos que σ 2 = 9 e x _ ≃ 20

Resposta

e )

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