Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Variância Populacional

Prof. Luiz A. Peternelli – DPI, UFV.

Tintas para marcação em asfalto de rodovias são oferecidas em duas cores, branca e amarela. O tempo de secagem dessas tintas é de muito interesse, e especificamente, suspeita-se que a tinta amarela seca mais rápido do que a branca. Amostras foram obtidas para a medição dos tempos de secagem (em minutos), em condições reais das duas tintas:

c) Obtenha o I C   ( 95 % ) para a variância do tempo de secagem de cada tipo de tinta.

Passo 1

Vamos começar pela tinta branca. Vamos calcular a variância amostral s ² dela, começando calculando a média x - :

x - = ∑ x n = 120 + 132 + 123 + 122 + 140 + 110 + 120 + 107 8 = 121,75

E agora podemos calcular s ² por:

s ² = ∑ ( x - x - ) ² n - 1

s ² = 120 - 121,75 ² + 132 - 121,75 ² + 123 - 121,75 2 + 122 - 121,75 2 + 140 - 121,75 2 + 110 - 121,75 2 + 120 - 121,75 2 + ( 107 - 121,75 ) ² 8 - 1

s ² = 114,5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o nível de confiança pedido é de 95 % :

1 - 0,95 = α

α = 0,05

Agora vamos calcular nossos χ ², lembrando que n = 8 . Primeiro o superior:

χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 = χ 7,0 , 975 2

Procurando o valor desse cara aí na tabela:

χ s u p 2 = 16,013

E agora o inferior:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 = χ 7,0 , 025 2

Procurando esse qui-quadrado na tabela:

χ i n f 2 = 1,690

Então o I C para a tinta branca, juntando tudo na fórmula, vai ser:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 ; s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 114,5 × 8 - 1 16,013 ; 114,5 × 8 - 1 1,690

I C B R A N C A = ( 50,05 ; 474,26 )

Passo 3

Agora vamos calcular para a tinta amarela. Primeiro a média amostral:

x - = ∑ x n = 126 + 124 + 116 + 125 + 109 + 130 + 125 + 117 + 129 + 120 10 = 121,5

E agora podemos calcular s ² por:

s ² = ∑ ( x - x - ) ² n - 1

s ² = 126 - 121,5 2 + 124 - 121,5 2 + 116 - 121,5 2 + 125 - 121,5 2 + 109 - 121,5 2 + 130 - 121,5 2 + 125 - 121,5 2 + 117 - 121,5 2 + 117 - 121,5 2 + 129 - 121,5 2 + ( 120 - 121,5 ) ² 10 - 1

s ² = 42 , 7 7

Passo 4

Agora vamos calcular nossos χ ², lembrando que n = 10 e α = 0,05 . Primeiro o superior:

χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 = χ 9,0 , 975 2

Procurando o valor desse cara aí na tabela:

χ s u p 2 = 19,023

E agora o inferior:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 = χ 9,0 , 025 2

Procurando esse qui-quadrado na tabela:

χ i n f 2 = 2,700

Então o I C para a tinta branca, juntando tudo na fórmula, vai ser:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 ; s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 42,7 7 × 10 - 1 19,023 ; 42,7 7 × 10 - 1 2,700

I C A M A R E L A = ( 20,42 ; 143,9 )

Resposta

I C B R A N C A = ( 50,05 ; 474,26 )

I C A M A R E L A = ( 20,42 ; 143,9 )

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