Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Variância Populacional

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Enunciado

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal com média μ e variância σ 2 , ambas desconhecidas. Seja X = ( 4 ; 7 ; 5 ; 6 ; 8 ; 6 ; 9 ; 4 ; 5 ) , uma amostra de tamanho 9 desta população. Pede-se que:

a) Calcule o intervalo de confiança ao nível de 99 % para a média, detalhando todos os passos necessários para construção deste I C .

b) Calcule o intervalo de confiança ao nível de 99 % para a variância, detalhando todos os passos necessários para a construção deste I C .

Observação: cálculos com 4 casas decimais.

Passo 1

O problema forneceu para gente uma amostra com 9 variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal:

X 1 = 4 ,     X 2 = 7 ,     X 3 = 5 ,     X 4 = 6 ,     X 5 = 8 ,

    X 6 = 6 ,     X 7 = 9 ,     X 8 = 4 ,     X 9 = 5

Não sabemos, à priori, a média μ e a variância σ 2 da distribuição normal de cada uma dessas variáveis. A média, para a amostra, é dada por

Y = X 1 + X 2 + … + X 9 9

O valor esperado dessa média amostral é

E Y = E X 1 + E X 2 + … + E X 9 9

Mas sabemos que E X 1 = E X 2 = … = E X 9 = μ , pois todas essas variáveis têm a mesma distribuição de probabilidades. Portanto,

E Y = 9 μ 9 = μ

Logo, o valor esperado (valor médio) da média amostral é igual ao valor médio de cada uma das variáveis aleatórias. Já para a variância, temos

V a r Y = V a r X 1 + V a r X 2 + … + V a r X 9 9 2

Como V a r X 1 = … = V a r X 9 = σ 2 , temos que

V a r Y = 9 σ 2 9 2 = σ 2 9

Passo 2

Antes de prosseguir, precisamos de uma estimativa razoável para μ e σ 2 . O estimador mais usual para μ é

X - = X 1 + X 2 + … + X 9 9 = 4 + 7 + 5 + 6 + 8 + 6 + 9 + 4 + 5 9 = 6

Já para a variância, o melhor estimador é

S 2 = 1 9 - 1 X 1 - X - 2 + X 2 - X - 2 + … + X 9 - X - 2 = 3

O termo n - 1 no lugar de n no denominador aparece pois estamos tomando a variância amostral. Usando esses estimadores no lugar de μ e σ 2 (que são desconhecidos), temos que

E Y = 6           e           V a r Y = 3 9 = 1 3

Além disso, como Y é a soma de variáveis aleatórias que obedecem a uma distribuição normal, Y também deve obedecer a uma distribuição normal. Como já temos E Y e V a r Y , podemos construir essa distribuição.

No item (a), devemos achar o I C com confiança de 99 % para a variável Y (média amostral). Isso significa que devemos achar qual o intervalo de valores de Y em torno da média que correspondem a uma probabilidade de 99 % :

Isso significa que a área da região pintada deve corresponder a 0,99 .

Passo 3

Para resolver esse problema, devemos normalizar a distribuição definindo uma nova variável aleatória dada por

Z = Y - E Y σ

Essa variável terá uma distribuição normal com média 0 e variância 1 :

Como a distribuição é simétrica, é fácil perceber que Z m i n = - Z m a x . Para que a confiança seja de 99 % :

P Z m i n < Z < Z m a x = 0,99

P - Z m a x < Z < Z m a x = 0,99

P 0 < Z < Z m a x = 0,99 2 = 0,495

Passo 4

Para determinar o valor de Z m a x , temos que olhar para a tabela da distribuição normal padrão acumulada. Vou usar a versão que foi dada na própria prova:

Essa tabela pode ser fornecida de várias formas, por isso é bem importante saber qual a convenção que está sendo utilizada. Na tabela fornecida na prova, a distribuição acumulada representa a probabilidade de Z < Z p . Vamos adaptar nosso problema a essa situação:

P 0 < Z < Z m a x = P - ∞ < Z < Z m a x - P - ∞ < Z < 0 = 0,495

Mas note que P - ∞ < Z < 0 = 0,5 , pois representa metade da distribuição (que é simétrica). Assim,

P - ∞ < Z < Z m a x - 0,5 = 0,495

P - ∞ < Z < Z m a x = 0,995

Olhando na tabela:

Portanto,

Z m a x = 2,575               Z m i n = - 2,575

Daí, basta isolar Y como função de Z :

Z = Y - E ( Y ) σ ⇒ Y = E Y + Z   σ

Como V a r Y = 1 / 3 , temos que

σ = V a r Y = 1 3

Portanto,

Y m i n = E Y + Z m i n   σ = 6 - 2,575 ⋅ 1 3 = 4,5133

Y m a x = E Y + Z m a x   σ = 6 + 2,575 ⋅ 1 3 = 7,4867

Portanto, o intervalo de confiança é

I C = 4,5133 ;   7,4867

Passo 5

Agora vamos ao item (b). Queremos achar o intervalo de confiança para a variância. Nos passos anteriores calculamos a variância amostral que representa um estimador da variância σ 2 :

S 2 = 3

No formulário foi dada a relação pivotal:

x = n - 1 S 2 σ 2   ~   χ n - 1 2

Isso significa que a variável x segue uma distribuição do tipo χ n - 1 2 . A ideia aqui vai ser bem parecida com o que estamos fazendo para a variável Z no item (a) que seguia uma distribuição normal, só que agora vamos olhar para uma distribuição de qui-quadrado!

Vamos considerar uma distribuição de qui-quadrado como a esboçada a seguir:

A probabilidade que x < x m i n é α / 2 e a probabilidade que x > x m a x também é α / 2 . Como queremos um intervalo com confiança de 99 % , a probabilidade de x estar entre x m i n e x m a x deve ser de 0,99 , de modo que

1 - α = 0,99 ⇒ α = 0,01

Portanto, devemos ter

P x > x m a x = 0,01 2 = 0,005             e           P x < x m i n = 0,01 2 = 0,005

Agora nossa tarefa é achar x m a x e x m i n . Para isso, vamos recorrer a tabela de distribuições de qui-quadrado fornecido na prova:

Para ler tabela temos que perceber que cada linha representa o número de graus de liberdade ϕ = n - 1 da distribuição. No nosso caso, temos ϕ = 9 - 1 = 8 . Destaquei essa linha na tabela. Já as colunas representam as probabilidades para que x > x c , onde x c é dado da tabela.

Vamos olhar primeiro para a condição P x > x m a x = 0,005 . Olhando a tabela, vemos que isso acontece na última coluna, de modo que

x m a x = 22,0

Para achar x m i n , vamos ter que brincar um pouco com a condição P x < x m i n = 0,005 :

P x < x m i n = 1 - P x > x m i n = 0,005

Logo,

P x > x m i n = 0,995

Olhando na tabela (primeira coluna), achamos

x m i n = 1,344

Passo 6

Com isso o problema está praticamente resolvido. Isolando σ 2 :

x = n - 1 S 2 σ 2 = 8 S 2 σ 2 ⇒ σ 2 = 8 S 2 x

Como S 2 = 3 :

σ 2 = 24 x

Note que como σ 2 é inversamente proporcional a x , x m i n corresponderá a σ m a x 2 , e vice-versa. Portanto,

σ m i n 2 = 24 x m a x = 24 22 = 1,0909

σ m a x 2 = 24 x m i n = 24 1,344 = 17,8571

Desta forma, o intervalo de confiança para a variância com confiança de 99 % :

I C = 1,0909 ;   17,8571

E assim terminamos o problema 😊.

Resposta

a) I C = 4,5133 ;   7,4867

b) I C = 1,0909 ;   17,8571

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