Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Variância Populacional

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Enunciado

O preço médio de um automóvel Palio ELX 1.0 quatro portas ano 2001 é R$ 18.000,00 (segundo Jornal Valor Econômico de 07/09/2019). Suponha que a variância estimada dos preços seja R$ 1.500,00 e o tamanho da amostra é n = 25 carros. Pede-se:

a) Encontre o intervalo de confiança para a média ao nível de significância de 5% para os preços de Palios ELX 1.0 quatro portas ano 2001, supondo que os preços são normalmente distribuídos.

b) Encontre o intervalo de confiança para a variância ao nível de significância de 5%, para os preços de Palios ELX 1.0 quatro portas ano 2001, supondo que os preços são normalmente distribuídos.

Passo 1

O exercício deu para gente a média e variância estimada dos preços:

μ = 18000

V a r = 1500

Com isso, podemos achar o desvio padrão da média:

σ = V a r n = 1500 25 = 7,746

Lembre-se sempre que o desvio padrão da média é o desvio padrão da amostra dividido pela raiz quadrada do número de elementos da amostra.

Para achar os intervalos de confiança vamos precisar do desvio padrão da média, por isso achei ele antes de discutir o problema!

Passo 2

No item (a), queremos um intervalo de confiança para a média e o enunciado disse que os preços seguem uma distribuição normal, de modo que vamos considerar que o preço médio também segue uma distribuição normal. Sua média será μ = 18000 e o desvio padrão será o desvio padrão da média calculado no passo 1: σ = 7,746 .

Queremos achar um intervalo em torno da média que representa uma probabilidade de 100 - 5 = 95 % , já que o nível de significância é de 5 % . Para fazer isso, devemos introduzir uma nova variável:

Z = x - μ σ → x = μ + Z σ

Queremos que

P - Z C < Z < Z C = 0,95

Usando a simetria da distribuição de Z :

P 0 < Z < Z C = 0,95 2 = 0,475

Além disso,

P Z < Z C = 0,5 + P 0 < Z < Z C = 0,5 + 0,475 = 0,975

Nosso objetivo é achar o valor de Z C tal que

P Z < Z C = 0975

Na tabela achamos:

Z c = 1,96

Passo 3

Os valores de x que corresponde aos valores limites de Z são:

x m i n = μ - Z C σ

x m a x = μ + Z C σ

Substituindo os números:

x m i n = 18000 - 1,96 ⋅ 7,746 = 17984,8

x m a x = 18000 + 1,96 ⋅ 7,746 = 18015,2

Portanto, o intervalo de confiança para o preço médio é

I C = 17984,8 ;     18015,2

Passo 4

No item (b) queremos saber o intervalo de confiança para a variância. Para isso, temos que lembrar que variável

V = n - 1   S 2 σ 2

segue uma distribuição de qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. Essa é a distribuição que vamos usar para encontrar o intervalo de confiança!

Nesse caso, temos n = 25 e S 2 = 1500 , de modo que

V = 24 ⋅ 1500 σ 2 = 36000 σ 2 → σ 2 = 36000 V

A variável V segue uma distribuição de qui-quadrado com 25 - 1 = 24 graus de liberdade. A seguir faço um esboço de uma distribuição desse tipo:

Queremos saber os valores V m i n e V m a x que delimitam um intervalo de 95 % de confiança (por isso separei 2,5 % para esquerda e para direita)! Para isso, devemos ter

P V > V m a x = 0,025

P V < V m i n = 0,025 → P V > V m i n = 1 - 0,025 = 0,975

Para achar esses limites, olhamos para a tabela na linha com 24 graus de liberdade:

Com isso, achamos

V m i n = 12,40           e           V m a x = 39,4

Passo 5

Como V e σ 2 são inversamente proporcionais, o V m i n corresponde ao máximo de σ 2 :

σ m a x 2 = 36000 12,4 = 2903,2

Analogamente, para o mínimo:

σ m i n 2 = 36000 39,4 = 913,7

Portanto, o intervalo de confiança para a variância é

I C = 913,7 ;     2903,2

Com isso terminamos o problema 😊.

Resposta

a) I C = 17984,8 ;     18015,2 .

b) I C = 913,7 ;     2903,2 .

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