Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Variância Populacional

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Enunciado

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média μ e variância σ ² desconhecidas.

Seja X _   = ( 5 ; 7 ; 8 ; 6 ; 9 ; 10 ; 4 ; 7 ) , uma amostra aleatória de tamanho n = 8 desta população.

Pede-se: O intervalo de confiança para a variância ao nível de confiança de 99,0 % .

Passo 1

Queremos construir um IC para a variância populacional. Sabemos a fórmula para esse tipo de IC:

I C = s ² ( n - 1 ) χ s u p 2 ; s ² ( n - 1 ) χ i n f 2

A variância amostral s ² podemos calcular com os dados fornecidos. Nossa média amostral é:

x - = 5 + 7 + 8 + 6 + 9 + 10 + 4 + 7 8 = 7

E com esse valor podemos calcular a variância amostral:

s 2 = ∑ ( x i - x - ) ² n - 1

s 2 = 5 - 7 2 + 7 - 7 2 + 8 - 7 2 + 6 - 7 2 + 9 - 7 2 + 10 - 7 2 + 4 - 7 2 + ( 7 - 7 ) ² 8 - 1

s 2 = 4

Passo 2

Os limites inferior e superior da Qui-Quadrado são dados por:

χ i n f 2 = χ n - 1 ; α 2 2

χ s u p 2 = χ n - 1 ; 1 - α 2 2

O nível de confiança pedido é de 0,99 , então α = 0,01 . Vamos procurar primeiro o inferior na tabela:

χ n - 1 ; α 2 2 = χ 8 - 1 ; 0,01 2 2 = χ 7 ; 0,005 2 = 0,989

Agora o superior:

χ n - 1 ; α 2 2 = χ 8 - 1 ; 1 - 0,01 2 2 = χ 7 ; 0,99 5 2 = 20,278

Passo 3

Finalmente podemos substituir tudo na fórmula do IC:

I C = s ² ( n - 1 ) χ s u p 2 ; s ² ( n - 1 ) χ i n f 2

I C = 4 ( 8 - 1 ) 20,278 ; 4 ( 8 - 1 ) 0,989

I C = ( 1,381 ; 28,311 )

Resposta

I C = ( 1,381 ; 28,311 )

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