Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Variância Populacional

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Enunciado

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “ μ ” e variância “ σ ”, ambas desconhecidas.

Seja X = ( 4 ; 7 ; 5 ; 6 ; 8 ; 6 ; 9 ; 4 ; 5 ) , uma amostra aleatória de tamanho 9 desta população.

Pede-se:

  1. O intervalo de confiança ao nível de significância de 98,0%, para a média.
  2. O intervalo de confiança ao nível de significância de 95,0%, para a variância.

Passo 1

(a)

Aqui teremos que fazer o intervalo de confiança duas vezes para a média. Sendo que a gente não conhece o valor do desvio padrão σ .

Nesse caso, a gente sabe que vai usar t   d e   s t u d e n t e vamos ter que calcular a média o desvio padrão da amostra que nos deram.

Nosso I C terá a seguinte cara:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Passo 2

Vamos calcular x ¯ e s :

x ¯ = 4 + 7 + 5 + 6 + 8 + 6 + 9 + 4 + 5 9 = 54 9 = 6

s 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1

n = 9

s = 3

Passo 3

Primeiro vamos fazer o intervalo de 98 % de confiança.

Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,98

α = 0,02

t 1 - α 2 = t 0,99

Vamos ter n - 1 = 8 graus de liberdade.

Olhando na tabela t   d e   s t u d e n t :

t 0,99 ; 8 = 2,896

Passo 4

Podemos montar nosso intervalo de confiança para 98 % de confiança.

I C = 6 - 2,896 × 3 9   ,   6 + 2,896 × 3 9

I C = 4,328   ; 7,672

Passo 5

(b)

Agora partiu fazer um intervalo de confiança para a variância.

A gente sabe que o intervalo de confiança nesses casos tem a seguinte cara:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

E que:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , 1 - α 2 2

É só a gente calcular cada parte.

Sabendo que n - 1 = 8 e s 2 = 3 .

Como o intervalo é de 95 % , também temos que:

1 - α = 0,95 → α = 0,05

1 - α 2 = 0,975

α 2 = 0,025

Passo 6

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2

= χ 8 ; 0,025 2

= 2,18

χ s u p 2 = χ n - 1 , 1 - α 2 2

= χ 8 ; 0,975 2

= 17,535

Passo 7

Agora só completar o I C .

I C = 3 × 8 17,535   ; 3 × 8 2,18

I C = ( 1,369   ; 11,009 )

Resposta

a   I C = 4,328   ; 7,672

b   I C = ( 1,369   ; 11,009 )

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