Exercícios Resolvidos de Introdução à trigonometria

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Enunciado

Se cossec ⁡ x + cotg ⁡ x = 5 , calcule cossec ⁡ x .

Passo 1

Primeiro vamos relembrar o que é cossecante e cotangente! Temos que,

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x   e cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x = cos ⁡ x sen ⁡ x .

Assim, voltando à soma do enunciado, teremos: 1 sen ⁡ x ⏟ cossec ⁡ x + cos ⁡ x sen ⁡ x ⏟ cotg ⁡ x = 5 ∴ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x = 5

O que nos dá:

1 + cos ⁡ x = 5 sen ⁡ x

Passo 2

Lá da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Isolando o cos ⁡ x , teremos:

cos ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Tacando lá na nossa equação, teremos:

1 + 1 - sen 2 ⁡ x = 5 sen ⁡ x

1 - sen 2 ⁡ x = 5 sen ⁡ x - 1

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos:

1 - sen 2 ⁡ x 2 = 5 sen ⁡ x - 1 2

1 - sen 2 ⁡ x = 25 sen 2 ⁡ x - 10 sen ⁡ x + 1

26 sen 2 ⁡ x = 10 sen ⁡ x

sen ⁡ x ( 26 sen ⁡ x - 10 ) = 0

Essa equação zera quando,

sen ⁡ x = 0

Ou

26 sen ⁡ x - 10 = 0 →   sen ⁡ x = 5 13

Maaaassssss... Como estamos interessados em calcular a cossec ⁡ x . Então temos

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Como a função seno está no meu denominador, eu não posso ter sen ⁡ x = 0 . Então vamos ficar com a nossa segunda solução

sen ⁡ x = 5 13

Calculando a cossecante, temos

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x ⟹   cossec ⁡ x = 1 5 / 13 = 13 5 U f a !

Resposta

cossec ⁡ x = 13 5

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