Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

Ver Teoria

Enunciado

Se Y = a X + b , calcule a média e a variância da variável aleatória Y em função da variável aleatória X , demonstrando todos os passos através da variável aleatória contínua.

Passo 1

Para calcular a média de um número utilizando método de variáveis discretas, temos que

x - = x 1 + x 2 + … + x n n = ∑ i = 1 n x i n

Entretando quando estamos lidando com variáveis contínuas, temos que nossa média é definida como

E ( x ) = ∫ - ∞ ∞ x   f x x d x

Enquanto a variância é definida como o desvio quadrático médio da média, definida como

V a r x = E x - E x 2

Passo 2

Então vamos calcular a média da nossa função usando o método de variáveis contínuas. Assim tome que

Y - = ∫ - ∞ ∞ X   Y X d x   = ∫ - ∞ ∞ X a X + b d x

Primeiro vamos aplicar a distributiva

∫ - ∞ ∞ a X 2 + b X d x = ∫ - ∞ ∞ a X 2 d x + ∫ - ∞ ∞ b X   d x

Agora colocando as constantes em evidência podemos reescrever nossa integral como

a ∫ - ∞ ∞ X ⋅ X   d x + b ∫ - ∞ ∞ X   d x

Repare que o primeiro termo é a média de X e o segundo é a média de 1 , ou seja

E Y = Y - = a X - + b

Passo 3

Vamos tomar então que

V a r Y = E Y - E Y 2

Já sabemos que E Y = a E X + b , então

V a r Y = E a X + b - a E X + b 2

Que se eliminando o termo b nos deixa com

V a r Y = E a X - a E X 2

Agora repare, vamos colocar o a em evidência, então temos

V a r Y = E a 2 X - E X 2

E lembrando que a média do produto é o produto da média, assim

V a r Y = E a 2 E X - E X 2

Assim temos 2 observação, a primeira é que a média de uma constante é constante. E a segunda é, repare que o segundo termo é exatamente a definição dada de variância de x , assim temos que

V a r Y = a 2 V a r ( X )

Resposta

Y - = a X - + b

V a r Y = a 2 V a r ( X )

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que f ( x ) = e - x para 0x .Determine x tal que P ( xX ) = 0.10 Determine x tal que P ( X ≤ x ) = 0.10
Suponha que f ( x ) = e - x para 0x . Determine as seguintes probabilidades: P ( 1X ) P ( 1X2.5 ) P ( X = 3 ) P ( X4 ) P ( 3 ≤ X )
Determine o valor esperado das seguintes variáveis aleatórias:A variável aleatória T definida no Problema 4.6.
Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D, a procura diária de um certo produto. Calcula E(D): d : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 P D = d : 0,1 ,0,1 ,0,3 ,0,3 ,0,2
Se X for uma variável aleatória contínua, demonstre que P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P ( x 1X ≤ x 2 ) = P ( x 1 ≤ Xx 2 ) = P ( x 1Xx 2 )