Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

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Enunciado

Uma variável contínua X   com densidade f X   x =   2 x   para x   ∈ 0,1 ,   e   0   c . c .

Calcule E X 2   -   3 X .

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade envolvendo esperança de uma variável aleatória.

Sabemos que f X   x =   2 x   para x   ∈ 0,1 ,   e   0   c . c

E queremos calcular E X 2   -   3 X

Vamos lembrar que E g x   =   ∫ x   ∈ R   g x f X x d x (lei do estatístico preguiçoso)

Passo 2

Vamos começar calculando a E X

Lembrando que para qualquer monômio de grau n tem-se que:

∫ a b x n   =   x n + 1 n + 1 ​ x = a x = b (1)

E X   =   ∫ 0 1 x 2 x d x

E X   =   ∫ 0 1 2 x 2 d x

(usando (1))

=   2 x 3 3 ​ x = 0 x = 1

=   2 3

Passo 3

Agora precisamos calcular E X 2 . Usando a lei do estatístico preguiçoso sabemos que

E X 2   =   ∫ 0 1 x 2 2 x d x

=   ∫ 0 1 2 x 3 d x

(usando (1))

=   2 x 4 4 ​ x = 0 x = 1

= 1 2

Passo 4

Calculamos, nos passos anteriores, E X   e   E X 2 . Agora podemos calcular a esperança de E X 2   -   3 X , que é o nosso objetivo.

E X 2   -   3 X   =   E X 2   - E 3 X

(pela linearidade da esperança)

  =   E X 2   - 3 E X

(pela linearidade da esperança)

  =   1 2   -   3 ⋅ 2 3

  =   - 3 2

Resposta

  =   - 3 2

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