Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

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Enunciado

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento   C C C , dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento C R C temos três sequências. Defina a variável aleatória X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X ( C R R ) = 1 e Y   ( C R R ) = 2 . Obtenha as distribuições de   X e Y .

Passo 1

Vamos entender primeiro um pouco melhor essas variáveis X e Y ?

Vamos listar todos os possíveis resultados que podemos obter no lançamento de três moedas, chamando cara de C e coroa de R

Temos então oito iresultados! Cada um deles tem portanto 1 8 , ou   0,125 , de probabilidade de acontecer.

Passo 2

Para cada um dos possíveis casos, a variável X será a quantidade de caras obtidas e Y o número de sequências consecutivas. Mas o que é uma sequência consecutiva?

Sempre que tivermos resultados iguais que aconteceram um após o outro, estaremos em uma sequência, mesmo que nessa sequência só tenha um resultado.

Por exemplo, na sequência C R C , temos três sequências consecutivas, uma para o primeiro C , uma para o R e uma para o último C . Já no caso, C R R , teríamos duas sequências, uma para o C e uma para o R R . Por fim, no caso C C C , aí teríamos apenas uma sequência.

Para todos os casos, temos a seguinte tabela:

Beleza?!

E agora podemos listar as probabilidades de cada X ou Y acontecerem também! Como?

Por exemplo, X = 2 quando temos C C R , C R C ou R C C . Então:

P X = 0 = P R R R = 0,125

P X = 1 = P C R R + P R C R + P R R C = 0,375

P X = 2 = P C C R + P C R C + P R C C = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,375

P X = 3 = P C C C = 0,125

Seguindo o mesmo raciocínio para o Y , teríamos, por exemplo:

P Y = 1 = P C C C + P R R R = 0,125 + 0,125 = 0,25

P Y = 2 = P C C R + P R R C + P C R R + P R C C

P Y = 2 = 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,5

P Y = 3 = P C R C + P R C R = 0,125 + 0,125 = 0,250

Show de bola?!

Resposta

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