Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Passo 1

Vamos lá! Temos ao todo 8 bolas, sendo:

3 vermelhas e 5 pretas

Tirando três bolas sem reposição, podemos ter (lembrando que a v.a. X   conta o número de bolas pretas retiradas):

3   b o l a s   p r e t a s → X = 3

2   b o l a s   p r e t a s → X = 2

1   b o l a   p r e t a → X = 1

n e n h u m a   b o l a   p r e t a → X = 0

Certo?

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

1º caso: X = 3

O único jeito de termos três bolas pretas é:

P P P

Pra calcular essa probabilidade, vamos fazer da seguinte forma:

Pra primeira bola retirada, temos 5 pretas de um total de 8 bolas, então a probabilidade de a primeira ser preta será de 5 8

Agora, já tendo retirado a primeira bola e ela sendo preta, temos 4 bolas pretas de um total de 7 bolas, então a probabilidade de a segunda bola ser preta agora é de 4 7

Usando o mesmo raciocínio, pra terceira bola temos que a probabilidade será de 3 6

Agora é só multiplicar tudo (queremos a probabilidade da primeira ser preta e a segunda ser preta e a terceira ser preta):

P X = 3 = 5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

Passo 3

2º caso: X = 2

Agora vai mudar um pouquinho a conta. É o seguinte: pra gente ter duas bolas pretas, concorda que os resultados possíveis são

P P V ,   P V P ,   V P P

Calculando a probabilidade de cada um deles que nem no passo anterior, temos o seguinte:

P P P V =   5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

P P V P =   5 8 ⋅ 3 7 ⋅ 4 6 = 0,178

P V P P =   3 8 ⋅ 5 7 ⋅ 4 6 = 0,178

Agora é só somar os três (podemos ter duas bolas pretas ou do primeiro jeito ou do segundo ou do terceiro):

P X = 2 = 3 × 0,178 = 0,534

Passo 4

3º caso: X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V ,   V V P ,   V P V

Fazendo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos:

P X = 1 = 0,269

Passo 5

4º caso: X = 0

Agora a única possibilidade é

V V V

Calculando da mesma forma que no passo 2:

P X = 0 = 3 8 . 2 7 . 1 6 = 0,0178

Passo 6

Então a distribuição de X será:

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