Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

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Enunciado

O rótulo de uma garrafa de cerveja long neck indica que o conteúdo é de 330 m l . Suponha que

a linha de produção encha as garrafas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo [ 325 ; 335 ] .

(a) Qual é a probabilidade de que uma garrafa tenha conteúdo superior a 333 m l ?

(b) Qual é a probabilidade de que uma garrafa tenha conteúdo inferior a 326 m l ?

(c) O controle de qualidade aceita uma garrafa com conteúdo dentro de 4 m l do conteúdo exibido na lata. Qual é a probabilidade de garrafas serem rejeitadas nessa linha de produção?

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Estatística. Para fazermos essa questão, vamos relembrar a definição da distribuição uniforme.

Dizemos que X ∼ U n i f ( a , b ) se X tem a seguinte fun��ão de densidade

f ( x ) = 1 b - a I ( a ≤ x ≤ b )

Onde I ( x ) é a função indicadora.

Logo como a nossa variável que indica a quantidade de cerveja na garrafa, vamos chamar de X , tem distribuição uniforme em [ 325 ; 335 ] , então sua função densidade de probabilidade é:

f ( x ) = 1 10 I ( 325 ≤ x ≤ 335 )

Passo 2

Vamos fazer a letra a )

Qual é a probabilidade de que uma garrafa tenha conteúdo superior a 333 m l ? Ora queremos

P ( x ≥ 333 )

Mas por definição essa probabilidade é:

P ( x ≥ 333 ) = ∫ 333 335 f ( x ) d x

= ∫ 333 335 1 / 10 d x

= 335 / 10   -   333 / 10

= 2 / 10

Vamos fazer a letra b )

Qual é a probabilidade de que uma garrafa tenha conteúdo inferior a 326 m l ? Ora queremos

P ( x ≤ 326 )

Mas por definição essa probabilidade é:

P ( x ≥ 326 ) = ∫ 325 326 f ( x ) d x

= ∫ 325 326 1 / 10 d x

= 326 / 10   -   325 / 10

= 1 / 10

E por fim, vamos fazer a letra c ) .

O controle de qualidade aceita uma garrafa com conteúdo dentro de 4 m l do conteúdo exibido na lata. Qual é a probabilidade de garrafas serem rejeitadas nessa linha de produção?

Ou seja, para uma garrafa ser rejeitada, ela precisa ter mais que 334 m l menos que 326 m l

Logo queremos

P ( x ≥ 334 ) + P ( x ≤ 326 ) = ∫ 334 335 f ( x ) d x + ∫ 325 326 f ( x ) d x

= ∫ 334 335 1 / 10 d x + ∫ 325 326 1 / 10 d x

= 335 / 10 - 334 / 10 + 326 / 10 - 325 / 10

= 2 / 10

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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