Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I. O produto vetorial de dois vetores unitários não é um vetor unitário.

II. Para quaisquer dois vetores e e v, u x v != v x u.

III. Para quaisquer três vetores u, v e w (u x v) = u (v x w).

Escolha uma:

a. As afirmativas I e II são verdadeiras.

b. As afirmativas II e III são verdadeiras. X c. Todas as afirmativas são falsas.

d. Todas as afirmativas são verdadeiras.

e. Apenas a afirmativa I é verdadeira.

f. Apenas a afirmativa III é verdadeira.

g. Apenas a afirmativa Il é verdadeira.

h. As afirmativas I e lll são verdadeiras.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos relembrar as propriedades do produto vetorial.

O produto vetorial entre dois vetores pode ser definido como:

v →   ✕   u → = n → ⋅ v u sin ⁡ α

Sendo α o ângulo entre os vetores v → e u → , e n → o vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

I. Um vetor unitário a → , tem por definição a → = 1 , assim o produto vetorial entre dois vetores unitários v → e u → será:

v →   ✕   u → = n → ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ sin ⁡ α =   n → ⋅ s i n ⁡ ( α )

Assim o produto vetorial entre dois vetores unitários seria o vetor com o modulo igual ao seno do ângulo entre os vetores e perpendicular a ambos (seguindo a regra da mão direita).

Verdadeiro, pois seno de um ângulo entre dois vetores não necessariamente é unitário.

Passo 3

II. E para quaisquer dois vetores v → e u → podemos lembrar da regra da mão direita onde dependendo da ordem em que multiplicamos os vetores o versor n → muda o seu sentido.

Assim temos que v →   ✕   u → = - u →   ✕   v → . (Propriedade da anticomutatividade)

E, portanto:

v →   ✕   u → ≠ u →   ✕   v →

Logo esse item é verdadeiro.

Passo 4

III. Para o caso de:

a →   b →   ✕   c →  

Podemos utilizar a definição matricial do produto vetorial:

Assim realizando o produto escalar:

E ao lembrar da propriedade dos determinantes que ao alterar a ondem de duas linhas não alteramos o valor do determinante, podemos dizer que:

Assim provamos que: v →   ✕   u → w → = u → ( v → ⋅ w → )

Sendo a alternativa verdadeira.

Resposta

Todas as afirmativas são verdadeiras.

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