Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Considere os dois produtos vetoriais repetidos A →   ×   B →   ×   C → e A →   ×   B →   ×   C → . Forneça um exemplo para mostrar que estes dois vetores normalmente não possuem nem módulo nem direções iguais. Você pode escolher os três vetores A → ,   B →   e   C → de modo que esses dois produtos vetoriais sejam iguais? Em caso afirmativo, forneça um exemplo.

Passo 1

Vamos usar 3 vetores escolhidos ao acaso para provar que normalmente os vetores não possuem nem módulo nem direções iguais

A → = 1,0 , 0

B → = ( 1,1 , 0 )

C → = ( 2,1 , 0 )

Escolhi vetores simples para não termos problemas nas contas. Números são um pouco chatinhos, ai acho melhor evitar =)

Passo 2

Alternativa a)

Vamos realizar uma operação de cada vez para não embolar a sua cabeça. A primeira que vamos fazer é A →   ×   B →   ×   C →

Calculando o produto vetorial B → × C →

  i j z 1 1 0 2 1 0

Assim temos como o vetor resultante D → :

D → = ( 0,0 , - 1 )

Passo 3

Calculando o produto vetorial entre A → × D →

  i j z 1 0 0 0 0 - 1

Depois de calcular o produto vetorial, a resposta da primeira equação é:

A → ×   B → × C → = ( 0,1 , 0 )

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda equação, fechado?

Calculando o produto vetorial A → × B →

  i j z 1 0 0 1 1 0

Assim temos como o vetor resultante E → :

E → = ( 0,0 , 1 )

Passo 5

Calculando o produto vetorial entre E → × C →

  i j z 0 0 1 2 1 0

Depois de calcular o produto vetorial, a resposta da segunda equação é:

A →   ×   B →   ×   C → = ( 1,2 , 0 )

Como os resultados foram diferentes, mostramos que normalmente os vetores não possuem módulos iguais, muito menos direções iguais.

Passo 6

Um modo fácil dos dois produtos serem iguais é todos os três vetores serem paralelos, pois assim, todos os produtos vetorais tem como resultado 0 , pois s e n 180 ° vale 0 .

Resposta

t r ê s   v e t o r e s   p a r a l e l o s

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