Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

(b) No caso de uma partícula de massa m, se r → é seu vetor posição e p → o seu vetor momento linear, mostre que

d d t r → × p → = r → × d p → d t

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de cálculo vetorial? Essa questão é uma continuação, então não custa nada a gente resgatar o resultado da letra (a) não é mesmo?

Anteriormente foi pedido para demonstrar explicitamente essa propriedade

d d t a → × b → = d a → d t × b → + a → × d b → d t

E foi verificado que sim, funciona!

Show!

Mas e agora? Agora foi pedido outra demonstração:

d d t r → × p → = r → × d p → d t

Então a ideia é usar o resultado do item (a) para demonstrar essa propriedade, ok?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar trocando os nomes dos vetores: a → passa a ser r → e b → passa a ser p → :

d d t a → × b → = d a → d t × b → + a → × d b → d t

d d t r → × p → = d r → d t × p → + r → × d p → d t

Beleza até aqui?

Passo 3

Precisamos lembrar que o momento linear p → é o produto da massa pelo vetor velocidade

p → = m v →

Então no lado direito da nossa propriedade, vamos trocar p → por m v → :

d d t r → × p → = d r → d t × m v → + r → × m d v → d t

Tudo bem?

Passo 4

Mas e agora? Agora precisamos lembrar que a velocidade é a derivada do vetor posição

v → = d r → d t

Então aquele primeiro termo do lado direito fica assim:

d r → d t × m v → = v → × m v → = m ( v → × v → )

E sabemos que produto vetorial entre dois vetores iguais é zero!

assim nossa propriedade fica:

d d t r → × p → = d r → d t × m v → + r → × m d v → d t

d d t r → × p → = r → × m d v → d t

E podemos voltar a escrever o momento linear m d v → d t como p → :

d d t r → × p → = r → × d p → d t

E está aí! A demonstração que o problema pediu!

espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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