Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 33 –1.87- Modificado.

A figura abaixo mostra um paralelogramo cujos lados são os vetores A e B .

  1. Mostre que o módulo do produto vetorial destes vetores é igual à área do paralelogramo . (Sugestão: á r e a = b a s e   x   a l t u r a )
  2. Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o plano deste paralelogramo?

Passo 1

Sabemos que a fórmula do módulo de um produto vetorial é:

A × B = A | B | s e n ( )

O que temos que fazer é provar que a área do paralelogramo tem essa mesma fórmula

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a)

O paralelogramo formado pelos vetores tem a seguinte forma:

Como o problema deu uma dica, vamos usar, né?

Para calcular a área desse paralelogramo vamos dividir ele em dois triângulos, pois assim podemos usar a fórmula da área que ele deu.

Passo 3

Como podemos perceber, divimos á area do paralelogramo em dois triângulos iguais, ou seja, se acharmos a área do triângulo conseguimos achar a área do paraleogramo.

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o

Para calcular a área do triângulo precisamos achar a altura relativa a base.

Considerando h a altura relativa à base, temos que:

h B = s e n

h = B   s e n ( )

Passo 4

Como a fórmula da área de um triângulo é:

b a s e   . a l t u r a 2 = S t r i ã n g u l o

Substituindo os valores temos:

A . h 2 = S t r i â n g u l o

Escrevendo h em função de B :

S t r i â n g u l o = A .   B .   s e n 2

Como já sabemos á relação da área do triângulo e do paralelogramo temos que:

S p a r a l e l o g r a m o = A B   s e n ( )

Passo 5

Alternativa b)

Como os vetores A   e   B formam um plano, que no caso é o plano do paralelogramo, e sabendo que o produto vetorial tem como resultado um vetor perpendicular à ambos, o vetor também é perpendicular ao plano formado pelos vetores:

Resposta

b )   90 °

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