Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x y x

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x y x = sen ⁡ 0.0 0 = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Como a vida não é sempre bela, já era de se esperar que fossemos cair numa indeterminação desse tipo.

Mas repare uma coisa. O argumento do seno é x y , certo? E no denominador temos apenas x . Então vamos multiplicar em cima e embaixo por y , que não vai alterar em nada nosso limite e chegaremos em algo que poderemos usar o limite fundamental trigonométrico:

y y ∙ sen ⁡ x y x = y sen ⁡ x y x y

Passo 2

Veja bem, agora temos

l i m ⁡ x , y → 0,0 sen ⁡ x y x y

O que é muito a cara de

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t = 1

Que é o nosso lindo limite fundamental trigonométrico.

Passo 3

Assim, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x y x =   lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ x y x y = lim x , y → 0,0 ⁡ y ∙ lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x y x y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x y x = 0 ∙ 1 = 0

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x y x = 0

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