Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

a)

lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2

b)

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y y - x 5

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão sobre limites em duas variáveis?

No item (a), temos o seguinte limite:

L a = lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2

O truque aqui é lembrar do limite fundamental:

lim t → 0 ⁡ s e n   t t = 1

Mas para chegar em algo parecido com isso, vamos multiplicar e dividir por x 2 + y 2 :

L a = lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Assim,

L a = lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2

Daí, usamos a regra do produto:

L a = lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2 ⋅ lim x ,  y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2

O primeiro limite dá 1 e o segunda dá 0 :

L a = 1 ⋅ 0

Portanto,

lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Temos que olhar para o limite:

L b = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y y - x 5

Olhando para o limite, dá para suspeitar que ele não existe. Vamos tentar provar isso!

Vamos chamar

f x ,   y = x 2 y y - x 5 → L b = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y

No caminho y = 0 , temos que

lim x → 0 ⁡ f x ,   0 = lim x → 0 ⁡ 0 0 - x 5 = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Da mesma forma, no caminho x = 0 :

lim y → 0 ⁡ f 0 ,   y = lim y → 0 ⁡ 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Nesses dois caminhos o limite deu zero. Isso não significa que o limite existe. Significa apenas que se o limite existir ele vai ser 0 . Podemos achar mil caminhos que o limite da 0 . Basta achar um caminho no qual o limite dá algo diferente que o limite não existe.

Passo 3

O truque aqui é dar um jeito de sobrar apenas uma variável no denominador. Para isso, vamos procurar x de modo que o denominador fique sendo algo do tipo y k . Matematicamente, isso significa que

y - x 5 = y k → x 5 = y - y k

Portanto,

x = y - y k 1 / 5

A gente poderia escolher algum valor de k mas como queremos testar caminhos diferentes, a melhor coisa é deixar para um k genérico. Substituindo x por isso:

f x ,   y = f y - y k 1 / 5 ,   y = y - y k 2 / 5 ⋅ y y - y - y k = y - y k 2 / 5 ⋅ y y k = y - y k 2 / 5 y k - 1

Note que

y k - 1 = y 5 k - 5 2 2 / 5

Logo,

f x ,   y = f y - y k 1 / 5 ,   y = y - y k y 5 k - 5 2 2 5

Desta forma, o limite nesse caminho fica:

lim y → 0 ⁡ y - y k y 5 k - 5 2 2 5 = lim y → 0 ⁡ 1 - y k - 1 y 5 k - 5 2 - 1 2 5 = lim y → 0 ⁡ 1 - y k - 1 y 5 k - 7 2 2 5

Se o expoente do y no denominador for maior que o do numerador, o limite vai explodir para . Repare que para k = 3 isso ocorre:

lim y → 0 ⁡ 1 - y k - 1 y 5 k - 7 2 2 5 = lim y → 0 ⁡ 1 - y 2 y 4 2 5 → ∞

Como o limite por esse caminho não deu 0 e nos caminhos testados no passo 2 ele foi nulo, podemos afirmar com certeza que o limite não existe!

Só por completude, qualquer k que satisfaça a inequação abaixo está valendo:

5 k - 7 2 > k - 1

5 k - 7 > 2 k - 2

3 k > 5

k > 5 3

Para qualquer valor de k > 5 / 3 , o limite nesse caminho vai explodir.

A dificuldade desse problema era encontrar esse caminho. A dica que eu dou nesses casos é sempre tentar deixar o denominador em uma variável só, sem somas ou subtrações 😉!

Resposta

lim x ,  y → 0,0 ⁡ s e n   x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y y - x 5             ∄

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