Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Encontre os limites, caso existam:

  1. e y   s e n ( x ) x  

Passo 1

Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Ta tudo joinha por aí?

Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha de função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de limites de várias variáveis.

Isso aí, os terríveis limites voltaram. Bem, sinto te falar que pelo menos uma questão desta mesma forma deve cair na sua prova. Sendo assim, vamos tentar explicar de forma mais clara possível, beleza?

Aqui não tem muita teoria não. Basicamente vamos rearranjar o limite para que possamos deixar um pedaço tendendo a um valor conhecido, como têm função trigonométrica vamos tentar utilizar o limite fundamental, e outro pedaço tendendo a 0.

Mas e aí? Vamos colocar a mão na massa? Vamos lá então.

Agora que já sabemos o que vamos utilizar, VAMOS LÁÁÁ

Passo 2

Para resolver, vamos precisar primeiramente da função:

e y   s e n ( x ) x

Aqui nós temos uma função que depende apenas de x e outra que depende apenas de y . Sendo assim, vamos utilizar a seguinte propriedade:

A   * B = A   * B  

Para que nosso problema se torne o seguinte:

e y   s e n ( x ) x = e y     *     s e n ( x ) x  

Analisando os limites acima, temos que:

s e n ( x ) x   = 1 ,   l i m i t e   f u n d a m e n t a l

e y   = 1 ,   f a z e n d o   y   t e n d e r   a   0 ,   a   e x p o n e n c i a l   v a i   p a r a   1

Portanto, temos que:

e y   s e n ( x ) x = e y     *     s e n x x   = 1 * 1 = 1

Resposta

e y   s e n ( x ) x = e y     *     s e n x x   = 1 * 1 = 1

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