Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

USP, P1 2012 A, questão 3a

Calcule ou mostre que o limite l i m x , y 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ( x 2 + y 2 ) não existe.

Passo 1

Mano, a dica que te dou é: apareceu sen t então a melhor coisa que você faz é partir pro teorema do sanduíche ou para o limite fundamental sen t t = 1 . Nesse caso, provavelmente vamos usar os dois. XD

Quando não tem seno nem cosseno, é uma ótima ideia ficar tentando caminhos pra ver se encontramos dois limites diferentes, antes de sair aplicando o teorema do sanduiche. ;)

Então partiu! O argumento do seno é x 2 + y 2 , certo? Então vamos multiplicar em cima e embaixo por essa expressão, que não vai alterar em nada nosso limite:

l i m x , y 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ( x 2 + y 2 ) = l i m x , y 0,0 x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 sen x 2 + y 2 x 2 + y 2  

Como o produto dos limites é o limite do produto, então, como o limite de sen x 2 + y 2 x 2 + y 2 1 , precisamos apenas olhar agora para o limite de x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 . Se ele não existir, o limite todo não existe.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tirando essa frescura de " l i m " que polui pra cacete o visual, vamos trabalhar na expressão x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 . Vou voltar a escrever o limite quando terminarmos de mexer nela ;)

Fazendo o produto do numerador, temos:

x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 = x 5 + x 3 y 2 x 4 + y 2

Separando os termos do numerador, fica:

x 5 + x 3 y 2 x 4 + y 2 = x 5 x 4 + y 2 + x 3 y 2 x 4 + y 2

Agora, o que vamos pensar é o seguinte: Temos duas frações. Cada uma delas tem um numerador com uma variável que tem o grau igual ou maior a alguma das variáveis do denominador (no caso, a segunda fração tem o y 2 , que tem o mesmo grau do y do denominador). Então, vamos usar o teorema do sanduíche, fazendo essa variável ficar com o mesmo grau da correspondente do denominador, e tacar no meio do sanduíche!

Passo 3

Para a primeira fração não tem jeito. Ainda bem que esse x 5 está com um grau que nos ajuda nas contas rsrs. Colocando x . x 4 , ao invés de x 5 , poderemos colocar o x 4 no sanduíche:

x x 4 x 4 + y 2

Então, teremos que:

0 < x 4 < x 4 + y 2

Dividindo tudo por x 4 + y 2 , temos:

0 < x 4 x 4 + y 2 < 1

Sacou o mecanismo? Agora provamos que essa fração está limitada! Como x , y 0,0 , e temos um x multiplicando x 4 x 4 + y 2 , então vemos que esse limite da 0 !

Passo 4

Fazendo o mesmo para a segunda fração, teremos:

x 3 y 2 x 4 + y 2

Colocando o y 2 no meio do sanduíche, que é a variável que tem o mesmo grau de uma das do numerador, teremos:

0 < y 2 < y 2 + x 4

Dividindo tudo por y 2 + x 4 , teremos:

0 < y 2 y 2 + x 4 < 1

E temos mais uma função limitada, multiplicada por um termo que vai pra 0 !

Passo 5

Show! Agora vimos que (colocando o limite de volta nas coisas):

l i m x , y 0,0 x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 sen x 2 + y 2 x 2 + y 2 =

l i m x , y 0,0 x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 . lim x , y 0,0 sen x 2 + y 2 x 2 + y 2 =

l i m x , y 0,0 x x 4 x 4 + y 2 . l i m x , y 0,0 x 3 y 2 x 4 + y 2 . lim x , y 0,0 sen x 2 + y 2 x 2 + y 2 =

0 . 1 = 0

Ou seja, o limite da esquerda vai pra 0 , enquanto o da direita, que é o fundamental, vai pra 1 !

Resposta

l i m x , y 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ( x 2 + y 2 ) = 0

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