Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 185, exercício 22.

Em cada caso verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito e resolva por Gauss-Seidel com ε = 0.0001 , se possível:

a A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12

b A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1

Passo 1

a Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 1 + 1 10 = 0.2

β 2 = 0.2 1 + 1 10 = 0.12

β 3 = 0.2 1 + 0.12 1 10 = 0.032

Logo, β = 0.2 < 1 . O critério é satisfeito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 12 - x 2 k - x 3 k 10

x 2 k + 1 = 12 - x 1 k + 1 - x 3 k 10

x 3 k + 1 = 12 - x 1 k + 1 - x 2 k + 1 10

Visualmente podemos ver que a solução é simplesmente x = 1 , 1,1 né? Mas pra treinar um pouco vamos usar como aproximação inicial x 0 = 0.9,1 . 1,0.9 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 12 - x 2 0 - x 3 0 10

x 1 1 = 1

x 2 1 = 12 - x 1 1 - x 3 0 10

x 2 1 = 1.01

x 3 1 = 12 - x 1 1 - x 2 1 10

x 3 1 = 0.999

Então temos x 1 = 1,1 . 01,0.999 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.1 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 12 - x 2 1 - x 3 1 10

x 1 2 = 0.9991

x 2 2 = 12 - x 1 2 - x 3 1 10

x 2 2 = 1.00019

x 3 2 = 12 - x 1 2 - x 2 2 10

x 3 2 = 1.00007

Então temos x 2 = 0.9991,1 . 00019,1.00007 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.0009 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 12 - x 2 2 - x 3 2 10

x 1 3 = 0.99997

x 2 3 = 12 - x 1 3 - x 3 2 10

x 2 3 = 1

x 3 3 = 12 - x 1 3 - x 2 3 10

x 3 3 = 1

Então temos x 3 = 0.99997,1 , 1 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.00087 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 12 - x 2 3 - x 3 3 10

x 1 4 = 1

x 2 4 = 12 - x 1 4 - x 3 3 10

x 2 4 = 1

x 3 4 = 12 - x 1 4 - x 2 4 10

x 3 4 = 1

Então temos x 4 = 1 , 1,1 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 2.6 × 10 - 5 < ε

x 2 4 - x 2 3 = 4.2 × 10 - 6 < ε

x 3 4 - x 3 3 = 3 × 10 - 6 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 1,1 , 1

Passo 3

b Aplicando o critério de Sassenfeld temos:

β 1 = 1 4 = 0.25 < 1

β 2 = 0.25 + 1 4 = 0.3125 < 1

β 3 = 0.3125 + 1 4 = 0.328125 < 1

β 4 = 0.328125 4 = 0.082 < 1

Logo, β = 0.328125 < 1 . O critério é satisfeito.

Passo 4

As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 1 + x 2 k 4

x 2 k + 1 = 1 + x 1 k + 1 + x 3 k 4

x 3 k + 1 = 1 + x 2 k + 1 + x 4 k 4

x 4 k + 1 = 1 + x 3 k + 1 4

Agora precisamos de um chute inicial. Se a gente jogar 0.5 em todas as variáveis dá valores bem próximos né? Então vamos usar x 0 = 0.5,0 . 5,0.5,0.5 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 4

x 1 1 = 0.375

x 2 1 = 1 + x 1 1 + x 3 0 4

x 2 1 = 0.46875

x 3 1 = 1 + x 2 1 + x 4 0 4

x 3 1 = 0.49219

x 4 1 = 1 + x 3 1 4

x 4 1 = 0.37 305

Então temos x 1 = 0.375 ,   0.46875 ,   0.49219 ,   0.37305 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.125 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 4

x 1 2 = 0.36719

x 2 2 = 1 + x 1 2 + x 3 1 4

x 2 1 = 0.46484

x 3 2 = 1 + x 2 2 + x 4 1 4

x 3 2 = 0.45947

x 4 2 = 1 + x 3 2 4

x 4 2 = 0.36487

Então temos x 2 = 0.36719,0 . 46484,0.45947,0.36487 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.00781 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 1 + x 2 2 4

x 1 3 = 0.36621

x 2 3 = 1 + x 1 3 + x 3 2 4

x 2 3 = 0.45642

x 3 3 = 1 + x 2 3 + x 4 2 4

x 3 3 = 0.45532

x 4 3 = 1 + x 3 3 4

x 4 3 = 0.36383

Então temos x 3 = 0.36621,0 . 45642,0.45532,0.36383 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.00098 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 1 + x 2 3 4

x 1 4 = 0.36411

x 2 4 = 1 + x 1 4 + x 3 3 4

x 2 4 = 0.45486

x 3 4 = 1 + x 2 4 + x 4 3 4

x 3 4 = 0.45467

x 4 4 = 1 + x 3 4 4

x 4 4 = 0.36367

Então temos x 4 = 0.36411,0 . 45486,0.45467,0.36367 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.00211 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 1 + x 2 4 4

x 1 5 = 0.36371

x 2 5 = 1 + x 1 5 + x 3 4 4

x 2 5 = 0.4546

x 3 5 = 1 + x 2 5 + x 4 4 4

x 3 5 = 0.45457

x 4 5 = 1 + x 3 5 4

x 4 5 = 0.36364

Então temos x 5 = 0.36371,0 . 4546,0.45457,0.36364 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.00039 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 1 + x 2 5 4

x 1 6 = 0.36365

x 2 6 = 1 + x 1 6 + x 3 5 4

x 2 6 = 0.45455

x 3 6 = 1 + x 2 6 + x 4 5 4

x 3 6 = 0.45455

x 4 6 = 1 + x 3 6 4

x 4 6 = 0.36364

Então temos x 6 = 0.36365,0 . 45455,0.45455,0.36364 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 6.5 × 10 - 5 < ε

x 2 6 - x 2 5 = 4.3 × 10 - 5 < ε

x 3 6 - x 3 5 = 1.7 × 10 - 5 < ε

x 4 6 - x 4 5 = 4.3 × 10 - 6 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 0.36365,0.45455,0.45455,0.36364

Resposta

a x = 1,1 , 1

b x = 0.36365,0.45455,0.45455,0.36364

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