Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Lista 3 – Unicamp – Questão 9

Seja o sistema linear:

10 1 - 1 2 10 8 7 1 10 x 1 x 2 x 3 = 10 20 30

a É possível dizer que o Método de Jacobi é convergente para este sistema?

b E o de Gauss-Seidel?

c Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel com x 0 = 0.7 , - 1.6,0.6 T , tolerância de 0.01 .

Passo 1

a Verificando o critério das linhas:

α 1 = 2 10 = 0.2

α 2 = 10 10 = 1

α 3 = 8 10 = 0.8

Logo, α = 1 . Então o critério das linhas não é satisfeito e a convergência do método de Gauss-Jacobi não é garantida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 2 10 = 0.2

β 2 = 8.4 10 = 0.84

β 3 = 2.24 10 = 0.224

Logo, β = 0.84 < 1 . Ou seja, o método de Gauss-Seidel converge.

Passo 3

c As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 10 - x 2 k + x 3 k 10

x 2 k + 1 = 20 - 2 x 1 k + 1 - 8 x 3 k 10

x 3 k + 1 = 30 - 7 x 1 k + 1 - x 2 k + 1 10

E como chute inicial temos x 0 = 0.7 , - 1.6,0.6 com ε = 0 . 0 1

Iteração 1 :

x 1 1 = 10 - x 2 0 + x 3 0 10

x 1 1 = 1.22

x 2 1 = 20 - 2 x 1 1 - 8 x 3 0 10

x 2 1 = 1.276

x 3 1 = 30 - 7 x 1 1 - x 2 1 10

x 3 1 = 2.018

Então temos x 1 = 1.22,1 . 276,2.018 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.52 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 10 - x 2 1 + x 3 1 10

x 1 2 = 1.074

x 2 2 = 20 - 2 x 1 2 - 8 x 3 1 10

x 2 2 = 0.17

x 3 2 = 30 - 7 x 1 2 - x 2 2 10

x 3 2 = 2.231

Então temos x 2 = 1.074,0 . 17,2.231 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.146 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 10 - x 2 2 + x 3 2 10

x 1 3 = 1.206

x 2 3 = 20 - 2 x 1 3 - 8 x 3 2 10

x 2 3 = - 0.026

x 3 3 = 30 - 7 x 1 3 - x 2 3 10

x 3 3 = 2.158

Então temos x 3 = 1.206 , - 0.026,2.158 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.132 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 10 - x 2 3 + x 3 3 10

x 1 4 = 1.218

x 2 4 = 20 - 2 x 1 4 - 8 x 3 3 10

x 2 4 = 0.0 3

x 3 4 = 30 - 7 x 1 4 - x 2 4 10

x 3 4 = 2.144

Então temos x 4 = 1.218,0 . 03,2.144 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.012 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 10 - x 2 4 + x 3 4 10

x 1 5 = 1.211

x 2 5 = 20 - 2 x 1 5 - 8 x 3 4 10

x 2 5 = 0.042

x 3 5 = 30 - 7 x 1 5 - x 2 5 10

x 3 5 = 2.148

Então temos x 5 = 1.211,0 . 042,2.148 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.007 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 10 - x 2 5 + x 3 5 10

x 1 6 = 1.211

x 2 6 = 20 - 2 x 1 6 - 8 x 3 5 10

x 2 6 = 0.04

x 3 6 = 30 - 7 x 1 6 - x 2 6 10

x 3 6 = 2.149

Então temos x 6 = 1.211,0 . 04,2.149 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.0009 < ε

x 2 6 - x 2 5 = 0.003 < ε

x 3 6 - x 3 5 = 0.0009 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 1.211,0.04,2.149

Resposta

a Não.

b Sim.

c x = 1.211,0.04,2.149

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