Determine a raiz real positiva da função f x = x 3 - 8 x , com precisão de 0.01 empregando o Método de Newton-Raphson. Utilize como valor inicial x 0 = 4 .

Passo 1

Fala Aííí!! Precisamos de uma função de iteração no método de Newton-Raphson assim como no Método do Ponto Fixo! Aqui nesse método teremos a seguinte função de iteração:

g x k = x - f x k f ' x k

Show de bola?! Agora vamos fazer o cálculo para montar a nossa função de iteração e partir pras continhas!

A nossa função do exercício tem a carinha

f x = x 3 - 8 x

Certo?! Para utilizarmos a nossa função de iteração

g x k = x - f x k f ' x k

Precisamos calcular a derivada da função f x . Assim,

f ' x = 3 x 2 - 8

Beleza?! Agora é só substituir na função de iteração:

g x k = x - x 3 - 8 x 3 x 2 - 8

Showzin?!

Passo 2

Já temos a nossa função de iteração

g x k = x - x 3 - 8 x 3 x 2 - 8

Mas e agora?! Queremos encontrar o valor da próxima iteração x 1 , concorda?! Então vamos substituir o valor de x 0 = 4 dado no enunciado, pois

x 1 = g ( x 0 )

Beleza?!

Assim,

g 4 = 4 - 4 3 - 8 4 3 4 2 - 8 = 4 - 32 40 = 3,2

Fazendo as continhas, temos que

g 4 = 3,2

Ou seja,

x 1 = g x 0 = g 4 = 3,2

Tá... E agora?

Agora precisamos verificar se já atingimos o nosso critério de parada. Ou seja, se já atingimos a precisão de 0.01 dada no enunciado!

Passo 3

Para verificar se já atingimos o nosso critério de parada, precisamos calcular

x 1 - x 0

Ou

f x 1

Se algum deles for menor que a nossa precisão 0.01 significa que já podemos parar!

Substituindo os valor, temos

x 1 - x 0 = 3,2 - 4 = 0,8

Temos que

0,8 > 0,01

Então esse falhou! Vamos analisar agora

f x 1 = f 3,2 = 7,17

Temos que

7,17 > 0,01

Ou seja, precisamos continuar com as nossas iterações!

Passo 4

Agora utilizaremos o valor de x 1 = 3,2 ! Substituindo ele na nossa função de iteração, teremos que

x 2 = g ( x 1 )

Assim,

g 3,2 = 3,2 - 3,2 3 - 8 3,2 3 3,2 2 - 8 = 2,88

Assim,

x 2 = g x 1 = 2,88

Vamos verificar se atingimos algum dos nossos critérios de parada?

x 2 - x 1 = 2,88 - 3,2 = 0,315

Temos que

0,315 > 0,01

Então esse falhou! Vamos analisar agora

f x 2 = f 2,88 = 0,84

Temos que

0,84 > 0,01

Ou seja, precisamos continuar com as nossas iterações!

Passo 5

Agora utilizaremos o valor de x 2 = 2,88 ! Substituindo ele na nossa função de iteração, teremos que

x 3 = g ( x 2 )

Assim,

g 2,88 = 3,2 - 2,88 3 - 8 2,88 3 2,88 2 - 8 = 2,83

Assim,

x 3 = g x 2 = 2,83

Vamos verificar se atingimos algum dos nossos critérios de parada?

x 3 - x 2 = 2,83 - 2,88 = 0,055

Temos que

0,055 > 0,01

Então esse falhou! Vamos analisar agora

f x 3 = f 2,83 = 0,025

Temos que

0,025 > 0,01

Ou seja, precisamos continuar com as nossas iterações!

Passo 6

NÃO DESISTEEE!!! VEM COMIGO!!!

Agora utilizaremos o valor de x 2 = 2,83 ! Substituindo ele na nossa função de iteração, teremos que

x 4 = g ( x 3 )

Assim,

g 2,83 = 3,2 - 2,83 3 - 8 2,83 3 2,83 2 - 8 = 2,829

Assim,

x 4 = g x 3 = 2,829

Vamos verificar se atingimos algum dos nossos critérios de parada?

x 4 - x 3 = 2,829 - 2,83 = 0,001

OPAAAAA!!!! TEMOS QUE A DIFERENÇA É MENOR DO QUE A PRECISÃO DADA NO ENUNCIADO:

0,001 < 0,01

Ou seja, atingimos o nosso critério de parada!!!

Logo, a raiz aproximada é

x - = 2,829

Resposta

x - = 2,829

Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson