Determine a raiz real positiva da função , com precisão de empregando o Método de Newton-Raphson. Utilize como valor inicial .
Passo 1
Fala Aííí!! Precisamos de uma função de iteração no método de Newton-Raphson assim como no Método do Ponto Fixo! Aqui nesse método teremos a seguinte função de iteração:
Show de bola?! Agora vamos fazer o cálculo para montar a nossa função de iteração e partir pras continhas!
A nossa função do exercício tem a carinha
Certo?! Para utilizarmos a nossa função de iteração
Precisamos calcular a derivada da função . Assim,
Beleza?! Agora é só substituir na função de iteração:
Showzin?!
Passo 2
Já temos a nossa função de iteração
Mas e agora?! Queremos encontrar o valor da próxima iteração , concorda?! Então vamos substituir o valor de dado no enunciado, pois
Beleza?!
Assim,
Fazendo as continhas, temos que
Ou seja,
Tá... E agora?
Agora precisamos verificar se já atingimos o nosso critério de parada. Ou seja, se já atingimos a precisão de dada no enunciado!
Passo 3
Para verificar se já atingimos o nosso critério de parada, precisamos calcular
Ou
Se algum deles for menor que a nossa precisão significa que já podemos parar!
Substituindo os valor, temos
Temos que
Então esse falhou! Vamos analisar agora
Temos que
Ou seja, precisamos continuar com as nossas iterações!
Passo 4
Agora utilizaremos o valor de ! Substituindo ele na nossa função de iteração, teremos que
Assim,
Assim,
Vamos verificar se atingimos algum dos nossos critérios de parada?
Temos que
Então esse falhou! Vamos analisar agora
Temos que
Ou seja, precisamos continuar com as nossas iterações!
Passo 5
Agora utilizaremos o valor de ! Substituindo ele na nossa função de iteração, teremos que
Assim,
Assim,
Vamos verificar se atingimos algum dos nossos critérios de parada?
Temos que
Então esse falhou! Vamos analisar agora
Temos que
Ou seja, precisamos continuar com as nossas iterações!
Passo 6
NÃO DESISTEEE!!! VEM COMIGO!!!
Agora utilizaremos o valor de ! Substituindo ele na nossa função de iteração, teremos que
Assim,
Assim,
Vamos verificar se atingimos algum dos nossos critérios de parada?
OPAAAAA!!!! TEMOS QUE A DIFERENÇA É MENOR DO QUE A PRECISÃO DADA NO ENUNCIADO:
Ou seja, atingimos o nosso critério de parada!!!
Logo, a raiz aproximada é