Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para a equação

x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Vamos lá!! Utilizaremos aqui a seguinte função de iteração:

g x k = x - f x k f ' x k

Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:

x k + 1 = x k - f x k f ' x k

Show de bola?!

Passo 2

O Intervalo que utilizaremos é o 1   ,   2

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

Calculando a derivada, temos

f ' x = 2 x - 1 x - 4

Substituindo na função de iteração

g x k = x - f x k f ' x k

Temos

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

Como temos uma raiz no intervalo [ 1 ,   2 ] vamos usar x 0 = 1 . Além disso, temos que nossa precisão é ε = 10 - 5 .

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.333333

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.333333 > 10 - 5

f x 1 = 0.156762 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 3

Para a 2 ª   iteração utilizaremos x 1 = 1.333333   e a precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.408579

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.075246 > 10 - 5

f x 2 = 0.007197 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 4

Seguindo o mesmo raciocínio, só que agora utilizando x 2 = 1.408579 e a mesma precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.412382

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.003802 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 5

Seguindo o mesmo raciocínio, só que agora utilizando x 3 = 1.412382 e a mesma precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 4 = g x 3 = 1.412391

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 9.6 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 1.1 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.412391 .

Resposta

x - = 1.412391

Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson