Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para a equação

2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 .

Passo 1

Vamos lá!! Aqui precisamos utilizar o método de Newton, certo?! Lembrando que, basicamente, o método de Newton-Raphson busca garantir e acelerar a convergência do Método do Ponto Fixo, escolhendo para função de iteração: g ( x ) tal que g ’( ξ ) = 0.

E como calculamos isso matematicamente? Usando a seguinte função de iteração:

g x k = x - f x k f ' x k

Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:

x k + 1 = x k - f x k f ' x k

Show de bola?!

Passo 2

O Intervalo que utilizaremos é o 2   ,   3

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

Calculando a derivada, temos

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

Substituindo na função de iteração

g x k = x - f x k f ' x k

Temos

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

Como temos uma raiz no intervalo [ 2 ,   3 ] vamos usar x 0 = 2 . Além disso, temos que nossa precisão é ε = 10 - 5 .

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 2.550769

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.550769 > 10 - 5

f x 1 = 1.632185 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 3

Para a 2 ª   iteração utilizaremos x 1 = 2.550769   e a precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 2.371359

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.179411 > 10 - 5

f x 2 = 0.005908 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 4

Seguindo o mesmo raciocínio, só que agora utilizando x 2 = 2.371359   e a mesma precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 2.370687

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000671 > 10 - 5

f x 3 = 1.2 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 2.371359 .

Resposta

x - = 2.371359

Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson