Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para a equação e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Fala Aííí!! Como podemos atacar esse exercício? Nós precisamos utilizar o método de Newton, certo, certo?! Belê, mas como funciona esse método? Basicamente, o método de Newton-Raphson busca garantir e acelerar a convergência do Método do Ponto Fixo, escolhendo para função de iteração: g ( x ) tal que g ’( ξ ) = 0.

E como calculamos isso matematicamente? Usando a seguinte função de iteração:

g x k = x - f x k f ' x k

Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:

x k + 1 = x k - f x k f ' x k

Show de bola?!

Passo 2

O Intervalo que utilizaremos é o 1,2

Cálculos Iniciais

f x = e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6

Calculando a derivada, temos

f ' x = e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

Substituindo na função de iteração

g x k = x - f x k f ' x k

Temos

g x = x - e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

Como temos uma raiz no intervalo [ 1 ,   2 ] vamos usar x 0 = 2 . Além disso, temos que nossa precisão é ε = 10 - 5 .

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.850521

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.149479 > 10 - 5

f x 1 = 0.088245 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 3

Para a 2 ª   iteração utilizaremos x 1 = 1.850521 e a precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.829751

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02077 > 10 - 5

f x 2 = 0.001508 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Passo 4

Seguindo o mesmo raciocínio, só que agora utilizando x 2 = 1.829751 e a mesma precisão ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.829384

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000367 > 10 - 5

f x 3 = 4.6 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.829384 .

Resposta

x - = 1.829384

Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson