Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Enunciado

(Adaptada) Uma câmara de ar frio é proposta para o resfriamento de esferas de aço de rolamento com diâmetro D = 0,2   m e temperatura inicial T i = 400 o C . O ar na câmara é mantido a - 15 o C por meio de um sistema de refrigeração e as esferas de aço passam através da câmara em uma esteira transportadora. A produção ótima de rolamentos exige que 70 % da energia térmica inicial contida na esfera acima de - 15 o C sejam removidas. Efeitos de radiação pode ser desprezados e o coeficiente de transferência de calor por convecção dentro da câmara é de 1000   W . m - 2 . K - 1 .

a Calcule o tempo de resistência das bolas no interior da câmara.

b Estime a velocidade da esteira transportadora, a fim de atender à exigência de operação.

As seguintes propriedades podem ser usadas para o aço: α   = 2   x   10 - 5   m 2 . s - 1 , c p =   450   J . k g - 1 . K - 1 e k = 50   W . m - 1 . K - 1 .

Passo 1

a Calcule o tempo de resistência das bolas no interior da câmara.

As esferas individualmente são como mostrado abaixo:

A gente vai analisar uma única esfera logo no começo do equipamento. Então, bora ver se a gente pode usar o Método dos Parâmetros Concentrados nesse problema pelo número de Biot:

B i = h . L c k

O comprimento característico ( L c ) pela razão entre volume e área da esfera é calculado por:

L c = V e s f A e s f             →             L c = π 6 . D 3 π . D 2           →             L c = D 6

Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:

L c = D 2

Como o B i fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método dos parâmetros concentrados valer ^^

Assim:

B i = h . D 6 . k             →             B i = 1000   W . m - 2 . K - 1 . 0,2   m 6 . 50   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 0,67

É, não adiantou! Como B i > 0,1 , a gente não pode usar o Método dos Parâmetros Concentrados! Então, a gente precisa do Método dos Efeitos Espaciais!

Passo 2

Para o caso das esferas sólidas, a gente tem que:

Q Q 0 = 1 - 3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1

O enunciado afirma que aquelas esferas cuja razão seja de 70 % serão removidas, então esse será o critério pra saber quanto tempo elas ficarão lá dentro! Sendo assim:

0,70 = 1 - 3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1

3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1 = 0,30

Pela tabela, conseguimos encontrar as constantes ζ 1 e C 1 ! Mas aqui você tem que ter muito cuidado! No finalzinho da tabela com as constantes, tem escrito como que o número de Biot deve ser calculado!

A gente já calculou o número de Biot pra saber se poderíamos usar o Método dos Parâmetros Concentrados. Pra isso, a gente pode escolher como calcular. Mas pra usar a tabela, o número de Biot deve ser calculado da seguinte forma:

B i = h . r 0 k             →             B i = 1000   W . m - 2 . K - 1 . 0,1   m 50   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 2,0

Com esse valor de B i , a gente não precisa interpolar! Temos direto da tabela que:

ζ 1 = 2,0288                     e                     C 1 = 1,4793

Substituindo na equação as constantes, a gente fica com:

3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1 = 0,30

3 . θ 0 * 2,0288 3 . s e n 2,0288 - 2,0288 . cos ⁡ 2,0288 = 0,30

θ 0 * = 0,4655

Passo 3

Além disso, a temperatura adimensional no centro do sólido ( θ 0 * ) é dada por:

lim r * → 0 ⁡ θ * = lim r * → 0 ⁡ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . 1 ζ 1 . r * . sen ⁡ ζ 1 . r *

Vemos que dá uma indeterminação 0 / 0 , logo podemos aplicar o teorema de L’Hospital, derivando numerador e denominador pra tirar novamente o limite:

lim r * → 0 ⁡ θ * = lim r * → 0 ⁡ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . r *

θ 0 * = lim r * → 0 ⁡ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . 0

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

Em que:

F o = α . t L c 2             →             F o = 4 . α . t D 2

Assim, o número de Fourier ( F o ) será:

F o = 4 . 2   x   10 - 5   m 2 . s - 1 . t x 0,2   m 2

F o = 2   x   10 - 3   s - 1 . t x

Logo:

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . 2   x   10 - 3   s - 1 . t x

Passo 4

Substituindo na equação as constantes e o valor de θ 0 * = 0,1198 , a gente fica com:

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . 2   x   10 - 3   s - 1 . t x

( 0,4655 ) = 1,4793 . exp ⁡ - 2,0288 2 . 2   x   10 - 3   s - 1 . t x

t x = 140,5   s

Isso equivale a aproximadamente 2   m i n !

Passo 5

b Estime a velocidade da esteira transportadora, a fim de atender à exigência de operação.

Como a esteira tem 5   m de comprimento, como indicado na figura, e o tempo necessário para a esfera ficar no sistema é de 140,5   s , esperamos que a velocidade da esteira seja:

v e s t e i r a = L t x

v e s t e i r a = 5   m 140,5   s

v e s t e i r a = 0,036   m . s - 1

Resposta

  1. t x = 140,5   s
  2. v e s t e i r a = 0,036   m . s - 1

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