Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Enunciado

Como parte de um processo de tratamento térmico, bastões de aço inoxidável 304 com 100   m m de diâmetro são resfriados a partir de um temperatura inicial de 500 ° C pela sua suspensão em um banho de óleo a 30 ° C .

Se um coeficiente de transferência de calor por convecção de 500   W / m 2 K for mantido pela circulação do óleo, quanto tempo demora para o eixo central dos bastões atingir uma temperatura de 50 ° C , quando então ele é retirado do banho?

Se 10 bastões de comprimento L = 1   m forem processados por hora, qual é a taxa nominal na qual energia deve ser retirada do banho (a carga de resfriamento)?

Passo 1

Logo de cara, precisamos calcular o número de Biot pra saber se podemos usar o Método dos Parâmetros Concentrados, mas o problema não nos deu todos os dados. E agora?!

Nesse caso, a gente costuma buscar os dados no final do livro (provavelmente em um dos apêndices). De acordo com a tabela A.1 do Incropera, para o aço inoxidável 304, temos:

ρ = 7900   k g / m 3

k = 19   W / m K

c p = 546   J / k g K

α = 4,4 × 10 - 6   m 2 / s

Dessa forma:

B i = h . L c k = h . D 4 k

Onde:

h = 500   W / m 2 K

D = 100   m m = 0,1   m

Substituindo dos valores:

B i = 500 × 0,1 4 × 19 → B i = 0,658 > 0,1

Dessa forma, vamos usar o Método dos Efeitos Espaciais.

Passo 2

θ * = T - T ∞ T i - T ∞ = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . J 0 ⁡ ζ 1 . r *

Um detalhe importante aqui é que, para pegarmos os valores tabelados de ζ 1 e C 1 temos que calcular Biot da seguinte forma:

B i = h . r 0 k = h . D 2 k → B i = 1,316

Olhando na tabela:

Fazendo uma interpolação linear:

ζ 1 = 1,3643

C 1 = 1,2486

Como estamos preocupados com a região central do bastão, r * = 0 , logo:

T - T ∞ T i - T ∞ = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . J 0 ⁡ 0

Sendo J 0 = 1 , T = 50 ° C , T ∞ = 30 ° C e T i = 500 ° C :

50 - 30 200 - 30 = 0,0426 = 1,2486 . exp ⁡ - 1,3643 2 . F o

Passo 3

Reorganizando os termos dessa equação:

F o = - ln ⁡ 0,0426 1,2486 1,3643 2 → F o = 1,82

Utilizando a definição do número de Fourier:

F o = α . t r 0 2 → t = F o . r 0 2 α

Substituindo os valores:

t = 1,82 × 0,05 2 4,4 × 10 - 6 → t = 1031   s

t = 17,18   m i n

Passo 4

A quantidade de calor transferida Q é dada por:

Q Q 0 = 1 - 2 . θ 0 * ζ 1 . J 1 ζ 1

Onde Q 0 é a quantidade de calor transferida inicialmente, dada por:

Q 0 = ρ . c p . V . T i - T ∞ 1 - 2 . θ 0 * ζ 1 . J 1 ζ 1

Onde:

ρ = 7900   k g / m 3

c p = 546   J / k g K

V = π D 2 L 4 = π × 0,1 2 × 1 4 = 7,854 × 10 - 3   m 3

θ 0 * = T - T ∞ T i - T ∞ = 50 - 30 200 - 30 = 0,0426

ζ 1 = 1,3643

J 1 1,3643 = 0,535

Substituindo todos os valores:

Q = 7900 × 546 × 7,854 × 10 - 3 × 470 × 1 - 2 × 0,0426 × 0,535 1,3643

Q = 1,54 × 10 7 J

Passo 5

No entanto, essa é a energia transferida por cada bastão.

A taxa total nominal de energia transferida pelos 10 bastões será dada por:

q - = 10 × Q t f = 10 × 1,54 × 10 7 1031

q - = 1,49 × 10 5   W = 149   k W

Resposta

t = 1031   s

q - = 1,49 × 10 5   W = 149   k W

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