Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Enunciado

Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que se encontra inicialmente a uma temperatura T i é subitamente resfriada pela redução da temperatura em ambas as superfícies para T s .

A lâmina tem uma espessura de 20   m m e o vidro possui uma difusividade térmica de 6 × 10 - 7 m 2 / s .

a Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 50 % da sua máxima redução de temperatura possível?

b Se T i - T s = 300 ° C , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?

Passo 1

O primeiro passo aqui é calcular o danado do Biot:

B i = h . L L

Opa! Mas o problema não nos deu o coeficiente de transferência de calor por convecção!

“E agora, José?!”

A ideia é a seguinte, quando o problema nos diz que a temperatura na superfície após o resfriamento é T s , é a mesma coisa que ele nos dizer que, após o resfriamento, T s = T ∞ , ou seja, seria como considerarmos h → ∞ .

Nesse caso, seria o mesmo que dizer que B i = ∞ . Bom, isso definitivamente é maior do que 0,1 . Kkkk Então partiu Métodos dos Efeitos Espaciais.

Passo 2

a Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 50 % da sua máxima redução de temperatura possível?

Ok! Como não temos exatamente, o valor de Biot, não temos como utilizar a nossa tabela. Então vamos recorrer à definição dos parâmetros ζ 1 e C 1 .

ζ 1 . tan ⁡ ζ 1 = B i = ∞ → tan ⁡ ζ 1 = ∞

ζ 1 = π 2

C 1 = 4 sen ⁡ ζ 1 2 ζ 1 + sen ⁡ 2 ζ 1 = 4 sen ⁡ π 2 2 × π 2 + sen ⁡ 2 × π 2 = 4 π

C 1 = 1,273

Passo 3

Show de bola! Como estamos querendo calcular o tempo, vamos calcular o número de Fourier através da seguinte fórmula:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . x *

Como estamos calculando esse tempo no eixo central, x * = 0 . Dessa forma:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

F o = - ln ⁡ θ * C 1 ζ 1 2

Como queremos saber o tempo que levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 50 % da sua máxima redução de temperatura possível, devemos considerar θ * = 0,5 . Dessa forma:

F o = - ln ⁡ 0,5 1,273 π 2 2 = 0,379

Utilizando a definição do número de Fourier:

F o = α . t L 2 → t = F o . L 2 α = 0,379 × 0,01 2 6 × 10 - 7

t = 63   s

Passo 4

b Se T i - T s = 300 ° C , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?

Como queremos calcular o gradiente de temperatura, estamos querendo calcular a grandeza ∂ T / ∂ x .

Pra isso, precisamos calcular a expressão da temperatura. A temperatura adimensional é dada por:

θ * = T - T s T i - T s → T = T s + T i - T s θ *

Derivando a expressão acima:

∂ T ∂ x = T i - T s L ∂ θ * ∂ x *

Sendo x * = x / L .

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . x *

∂ θ * ∂ x * ≅ - ζ 1 C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . sen ⁡ ζ 1 . x *

Substituindo na expressão do gradiente de temperatura:

∂ T ∂ x = T i - T s L - ζ 1 C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . sen ⁡ ζ 1 . x *

Como queremos o máximo valor do gradiente de temperatura, basta fazer x * = 1 e exp ⁡ - ζ 1 2 . F o = 1 , logo:

∂ T ∂ x m á x = - T i - T s L . ζ 1 C 1 . sen ⁡ ζ 1

Substituindo os valores:

∂ T ∂ x m á x = - 300 0,01 × π 2 × 1,273

∂ T ∂ x m á x = - 6 × 10 4   ° C / m

Resposta

a

t = 63   s

b

∂ T ∂ x m á x = - 6 × 10 4   ° C / m

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