Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Enunciado

Um longo bastão de plástico com 30   m m de diâmetro k = 0,3   W / m K e ρ c p = 1040   k J / m 3 K é aquecido uniformemente em uma estufa como preparação para uma operação de prensagem. Para obtenção de melhores resultados, a temperatura no bastão não deve ser inferior a 200 ° C .

Até que temperatura uniforme o bastão deve ser aquecido na estufa se, para o pior dos casos, o bastão repousa sobre uma esteira transportadora por 3   m i n antes da prensagem, permanecendo exposto a um resfriamento por convecção ao ar ambiente a 25 ° C , com um coeficiente convectivo de 8 W / m 2 K ?

Uma outra condição para a obtenção de bons resultados é a diferença entre as temperaturas máxima e mínima no bastão, que não deve exceder 10 ° C .

Essa condição é satisfeita e, se não, o que você poderia fazer para satisfazê-la?

Passo 1

Logo de cara vamos calcular o número de Biot para o cilindro:

B i = h . r o 2 k = h . D 4 k

Onde:

h = 8 W / m 2 K

D = 30   m m = 0,03   m

k = 0,3   W / m K

Substituindo os valores:

B i = 8 × 0,03 4 × 0,3 → B i = 0,2 > 0,1

Logo, vamos utilizar o Método dos Efeitos Espaciais pra resolver esse problema.

Passo 2

A temperatura adimensional para o caso do cilindro é dada por:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . J 0 ⁡ ζ 1 . r *

Vamos agora determinar os valores dos parâmetros que estão faltando na equação.

Para pegar os valores de ζ 1 e C 1 da tabela, temos que calcular Biot da seguinte forma:

B i = h . r o k = h . D 2 k

B i = 8 × 0,03 2 × 0,3 → B i = 0,4

Como já temos o valor do número de Biot, podemos pegar ζ 1 e C 1 direto da tabela. Dessa forma:

ζ 1 = 0,8516

C 1 = 1,0932

Além disso, como o problema já nos deu o tempo que o bastão fica na estufa, podemos calcular o número de Fourier F o :

F o = α . t r 0 2 = k ρ c p . 4 t D 2

Substituindo os valores:

F o = 0,3 1040 × 10 3 × 4 × 3 × 60 0,03 2 = 0,2308

A função de Bessel de primeira ordem é dada em uma tabela a partir dos valores de ζ 1 e r * . Dado que estamos preocupados com a temperatura na superfície, r * = 1 . Como já calculamos o valor de ζ 1 , teremos:

J 0 ζ 1 r * = J 0 0,8516 × 1 = J 0 0,8516

Na tabela, vemos que esse valor está entre 0,8075 e 0,8463 .

Fazendo uma interpolação linear, encontramos que J 0 0,8516 = 0,8263 .

Finalmente, substituindo todos os valores na expressão da temperatura adimensional:

θ * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . J 0 ⁡ ζ 1 . r *

θ * = 1,0932 × exp ⁡ - 0,8516 2 × 0,2308 × 0,8263

θ * = 0,7641

Passo 3

Pra calcular a temperatura inicial do bastão, basta utilizar a definição da temperatura adimensional θ * :

T - T ∞ T i - T ∞ = 0,7641

T i = T ∞ + T - T ∞ 0,7641

Substituindo os valores:

T i = 25 + 200 - 25 0,7641

T i = 254 ° C

Passo 4

Vamos utilizar agora a condição de que a diferença entre as temperaturas máxima e mínima no bastão, que não deve exceder 10 ° C .

A máxima temperatura no bastão será a sua temperatura no eixo central. Dessa forma, é mais jogo usarmos essa expressão da temperatura adimensional:

θ * = θ 0 * J 0 ζ 1 r *

T r 0 , t - T ∞ = T 0 , t - T ∞ × 0,8263

T 0 , t = T ∞ + T r 0 , t - T ∞ 0,8263

Substituindo os valores:

T 0 , t = 25 + 200 - 25 0,8263 = 237 ° C

Assim, a diferença entre as temperaturas máxima e mínima será:

T 0 , t - T r 0 , t = 237 - 200 = 37 ° C > 10 ° C

Assim, a condição não é atingida.

Resposta

T i = 254 ° C

A condição de que a diferença entre as temperaturas máxima e mínima no bastão, que não deve exceder 10 ° C não é atingida.

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