Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Enunciado

(Adaptado) Relembrando que sua mãe em uma certa ocasião disse que a carne deve ser cozida até que cada porção tenha atingido uma temperatura de 80 ° C , quanto tempo levará para cozinhar 10   k g de carne?

Admita que o alimento está inicialmente a 2 ° C e que a temperatura do forno seja de 175 ° C com um coeficiente de convecção de 10   W / m 2 K .

Considere a carne como um cilindro tendo um diâmetro igual ao seu comprimento e propriedades termofísicas dadas por: capacidade calorífica de 4 ,   2   k J / k g . K , massa específica de 1016   k g / m 3 , condutividade térmica de 0,640   W / m . K .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos determinar as dimensões dos 10   k g de carne.

De acordo com o enunciado, devemos considerar a carne como um cilindro com diâmetro igual ao seu comprimento, D = L . Assim, o comprimento da carne será:

m = ρ . V = ρ . π D 2 4 . L = ρ . π . L 3 4

L = 4 . m ρ . π 1 / 3 = 4 × 10 1016 × π 1 / 3

L = D = 0,232   m

Passo 2

Para determinar o método mais adequado pra resolver o problema, precisamos calcular o número de Biot, dado por:

B i = h . r 0 k = 10 × 0,232 0,640 × 2 → B i ≅ 1,81 < 0,1

Sendo assim, vamos usar o Método dos Efeitos Espaciais.

Passo 3

Nesse método, estamos considerando a variação da temperatura ao longo do corpo que estamos analisando. Como o objetivo da questão é achar o tempo em que toda a carne estará a pelo menos 80ºC, vamos calcular o tempo pro ponto mais frio da carne chegar aos 80ºC, porque assim temos certeza que todo o resto já vai estar em temperaturas maiores.

Já que a carne tá sendo aquecida por convecção na sua superfície externa, o ponto mais frio vai ser sempre o centro do cilindro.

Ótimo! Temos uma equação simplificada no método dos efeitos espaciais pro cálculo no centro de um cilindro infinito:

θ 0 * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

Dessa equação queremos calcular o número de Fourier ( F o ) , que é a variável adimensional do tempo, e pra isso precisamos determinar as outras variáveis adimensionais que vamos usar:

r * = r r 0 = 0 0,116 = 0

θ 0 * = T - T ∞ T i - T ∞ = 80 - 175 2 - 175 = 0,55

Pronto! Agora ficou faltando só usar o Biot que calculamos lá atrás, pra pegar na tabela as constantes da equação:

ζ 1 = 1,5341

C 1 = 1,3135

Passo 4

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos reorganizar a equação em função do número de Fourier e aí é só substituir os valores que temos:

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

F o = - ln ⁡ θ 0 * C 1 ζ 1 2 = - ln ⁡ 0,55 1,3135 1,5341 2 = 0,37

Passo 5

Por último, mas não menos importante, precisamos abrir o número de Fourier para achar o tempo:

F o = α . t L C 2

Lembrando que o α é a difusividade térmica do material, que pode ser achada em função das propriedades que o enunciado deu pra gente:

α = k ρ . C p = 0,64   W m . K 1016   k g m 3 × 4200   J k g . K   = 1,5 × 10 - 7 m 2 s    

L C = r 0 2 = 0,116 2 = 0,058   m

t = F o . L 2 α = 0,37 × 0 , 058   m 2 1,5 × 10 - 7 m 2 s = 8298   s = 2,3   h

Resposta

t = 2,3   h o r a s

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