Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Enunciado

Sistemas de armazenamento de energia térmica em geral envolvem um leito de esferas sólidas, através do qual um gás quente escoa se o sistema está sendo carregado ou um gás frio se o sistema está sendo descarregado. No processo de carregamento, o calor transferido do gás quente aumenta a energia térmica armazenada dentro das esferas frias; durante a descarga, a energia diminui conforme o calor é transferido das esferas aquecidas para o gás refrigerante.

Considere o leito com esferas de pirex ( ρ = 2225   k g . m - 3 , c p =   835   J . k g - 1 . K - 1 e k   = 1,4   W . m - 1 . K - 1 ) de 75 mm de diâmetro e o processo de carregamento, para o qual o gás entra na unidade de armazenamento à temperatura de T g , i = 300 o C .

a Se a temperatura inicial das esferas é de T i = 25 o C e o coeficiente de convecção é h = 75   W . m - 2 . K - 1 , quanto tempo levará a esfera próxima à entrada do sistema para acumular 90% da máxima energia térmica possível?

b Qual a temperatura no centro da esfera?

Passo 1

a Se a temperatura inicial das esferas é de T i = 25 o C e o coeficiente de convecção é h = 75   W . m - 2 . K - 1 , quanto tempo levará a esfera próxima à entrada do sistema para acumular 90% da máxima energia térmica possível?

A situação proposta pode ser ilustrada de maneira simplificada da seguinte forma:

A gente vai analisar uma única esfera logo no começo do equipamento. Então, bora ver se a gente pode usar o Método da Capacidade Concentrada nesse problema pelo número de Biot:

B i = h . L c k

O comprimento característico ( L c ) pela razão entre volume e área da esfera é calculado por:

L c = V e s f A e s f             →             L c = π 6 . D 3 π . D 2           →             L c = D 6

Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:

L c = D 2

Como o B i fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método da capacidade concentrada valer ^^

Assim:

B i = h . D 6 . k             →             B i = 75   W . m - 2 . K - 1 . 0,075   m 6 . 1,4   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 0,67

É, não adiantou! Como B i > 0,1 , a gente não pode usar o Método da Capacidade Concentrada! Então, a gente precisa do Método dos Efeitos Espaciais!

Passo 2

Para o caso de uma esfera, a razão entre as quantidades de calor é dada por:

Q Q 0 = 1 - 3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1

O enunciado nos pede uma razão de 90 % , logo podemos escrever que:

0,90 = 1 - 3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1

3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1 = 0,10

Pela tabela, conseguimos encontrar as constantes ζ 1 e C 1 ! Mas aqui você tem que ter muito cuidado! No finalzinho da tabela com as constantes, tem escrito como que o número de Biot deve ser calculado!

A gente já calculou o número de Biot pra saber se poderíamos usar o Método da Capacidade Concentrada. Pra isso, a gente pode escolher como calcular. Mas pra usar a tabela, o número de Biot deve ser calculado da seguinte forma:

B i = h . r 0 k             →             B i = 1000   W . m - 2 . K - 1 . 0,1   m 50   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 2,0

Com esse valor de B i , a gente não precisa interpolar! Temos direto da tabela que:

ζ 1 = 2,0288                     e                     C 1 = 1,4793

Substituindo na equação as constantes, a gente fica com:

3 . θ 0 * ζ 1 3 . s e n ζ 1 - ζ 1 . cos ⁡ ζ 1 = 0,10

3 . θ 0 * 2,0288 3 . s e n 2,0288 - 2,0288 . cos ⁡ 2,0288 = 0,10

θ 0 * = 0,1552

Passo 3

Além disso, a temperatura adimensional no centro do sólido ( θ 0 * ) é dada por:

lim r * → 0 ⁡ θ * = lim r * → 0 ⁡ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . 1 ζ 1 . r * . sen ⁡ ζ 1 . r *

Vemos que dá uma indeterminação 0 / 0 , logo podemos aplicar o teorema de L’Hospital, derivando numerador e denominador pra tirar novamente o limite:

lim r * → 0 ⁡ θ * = lim r * → 0 ⁡ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . r *

θ 0 * = lim r * → 0 ⁡ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . 0

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

Em que:

F o = α . t L c 2             →             F o = 4 . α . t D 2

A difusividade térmica ( α ) é dada por:

α = k ρ . c p             →             α = 1,4   W . m - 1 . K - 1 2225   k g . m - 3 . 835   J . k g - 1 . K - 1             →             α = 7,53   x   10 - 7   m 2 s

Assim, o número de Fourier ( F o ) será:

F o = 4 . 7,53   x   10 - 7   m 2 . s - 1 . t x 0,075   m 2

F o = 5,35   x   10 - 4   s - 1 . t x

Logo:

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . 5,35   x   10 - 4   s - 1 . t x

Passo 4

Substituindo na equação as constantes e o valor de θ 0 * = 0,1198 , a gente fica com:

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . 5,35   x   10 - 4   s - 1 . t x

( 0,1552 ) = 1,4793 . exp ⁡ - 2.0288 2 . 5,35   x   10 - 4   s - 1 . t x

t x = 1023,9   s

Isso equivale a aproximadamente 17   m i n !

Passo 5

b Qual a temperatura no centro da esfera?

A gente sabe que a temperatura adimensional da esfera é dada por:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . 1 ζ 1 . r * . sen ⁡ ζ 1 . r *

Então, avaliando a expressão no centro ( r * = 0 ), a gente cai no que já achamos antes pelo limite da expressão:

θ 0 * = C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

Com as constantes, achamos que:

θ 0 * = 0,1552

Logo, pela definição de temperatura adimensional, a gente fica com:

T 0 - T ∞ T i - T ∞ = 0,1552

Logo:

T 0 = T ∞ + ( 0,1552 ) . ( T i - T ∞ )

T 0 = 573   K + 0,1552 . 298 - 573   K

T 0 = 530,3   K

Resposta

  1. t x = 1023,9   s
  2. T 0 = 530,3   K

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