Exercícios Resolvidos de Método dos Fasores

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Enunciado

Num arranjo experimental os pontos S 1 e S 2 funcionam como fontes de luz idênticas emitindo em fase com comprimentos de onda λ .

A distância x entre S 1 e S 2 pode ser variada, e S 2 encontra-se a uma distância D do anteparo.

  1. Obtenha a expressão para a diferença de fase ϕ entre as ondas no ponto P . (obs: NÃO faça nenhuma aproximação).
  2. Para que valores de x obtém-se interferência destrutiva para y = 0 (ponto O )?
  3. Se apenas um dos S 1 ou S 2 estiver presente a intensidade observada no ponto P do anteparo é aproximadamente constante e igual a I para x e y pequenos (as amplitudes dos campos elétricos devidos às fontes em P são aproximadamente iguais: E 01 ≈ E 02 = E ).

Deduza a expressão da intensidade resultante I R observada no ponto P como função apenas de I e ϕ .

Passo 1

Letra a)

A diferença de fase ϕ entre as ondas no ponto P vai ser resultado da diferença no percurso percorrido pelas ondas emitidas por S 1 e por S 2 . Podemos visualizá-las no desenho

Pelo desenho, podemos encontrar ambas as distâncias percorridas pelos triângulos retângulos desenhados e ver a diferença entre elas.

A distância entre a fonte S 1 e o ponto P é:

l 1 = x + D 2 + y 2

Já entre S 2 e P é:

l 2 = D 2 + y 2

Logo, a diferença de caminho é

Δ r = l 1 - l 2 = x + D 2 + y 2 - D 2 + y 2

Passo 2

Com a diferença de caminho calculada, precisamos passar ela para a diferença de fase. Para isso, sabemos que, em múltiplos do comprimento de onda, a diferença de fase vai ser:

ϕ m ú l t i p l o s = Δ r λ

Fazendo uma regra de três, temos que a diferença de fase de 1 comprimento de onda é 2 π , o de ϕ m ú l t i p l o s vai ser:

ϕ = Δ r λ ∙ 2 π = x + D 2 + y 2 - D 2 + y 2 λ ∙ 2 π

Passo 3

Letra b)

Para y = 0 , a diferença de fase fica:

ϕ = x + D - D λ ∙ 2 π = x λ ∙ 2 π

O que podia também ser visto pelo gráfico, que quando y = 0 , o ponto P está na reta que liga S 1 e S 2 e a diferença de percurso das ondas eletromagnéticas fica sendo a distância entre as fontes.

Para que a interferência seja destrutiva, precisamos que a diferença de fase seja equivalente a meio comprimento de onda, ou seja:

ϕ = 2 m + 1 π

m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Onde 2 m π corresponde a uma diferença de fase de m comprimentos de onda, que mantém as ondas em fase, e π corresponde a uma diferença de fase de meio comprimento de onda.

Igualando na equação acima:

2 m + 1 π = x λ ∙ 2 π

m + 1 2 = x λ

Assim, os valores de x para os quais se obtêm interferência destrutiva são

x = λ m + 1 2

Passo 4

Letra c)

Os campos elétricos das respectivas fontes no ponto P vão ser:

E 1 ⁡ t = E 01 cos ⁡ ( ω t )

E 2 ⁡ ( t ) = E 02 cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Como E 01 ≈ E 02 = E , o campo elétrico resultante no ponto P é

E P = E 1 + E 2 = E ∙ cos ⁡ ω t + cos ⁡ ω t + ϕ

Agora, podemos usar uma fórmula trigonométrica para melhorar isso. A fórmula é:

cos ⁡ a + cos ⁡ b = 2 cos ⁡ a + b 2 cos ⁡ a - b 2

Que era uma fórmula do formulário original da prova! Isso nos dá:

E P = E ∙ 2 cos ⁡ ω t + ϕ 2 cos ⁡ ϕ 2

Passo 5

Com o campo elétrico resultante, nós podemos encontrar a intensidade resultante!

A intensidade é diretamente proporcional à média temporal do campo elétrico. No caso da intensidade original (com apenas uma fonte)

I = c ϵ 0 < E 2 cos 2 ⁡ ω t >   = c ϵ 0 E 2 < cos 2 ⁡ ω t >

Não precisa se preocupar muito quais a constante c ϵ 0 , porque vamos ver que ela vai “cortar” depois. Além disso, também era uma fórmula dada na prova, não se preocupe!

Temos (novamente, outra fórmula que vinha do formulário e por isso não se preocupe em decorá-la)

< cos 2 ⁡ ω t >     =   1 2

Logo:

I = c ϵ 0 E 2 2

Façamos o raciocínio para o campo elétrico resultante E P .

I R = c ϵ 0 < E P 2 >     =     c ϵ 0 < E 2 ∙ 4 cos 2 ⁡ ω t + ϕ 2 cos 2 ⁡ ϕ 2 >    

Vamos agora tirar da média temporal tudo que permanece constante ao longo do tempo.

I R =   4 c ϵ 0 E 2 cos 2 ⁡ ϕ 2 < cos 2 ⁡ ω t + ϕ 2 >    

A média do coseno ao quadrado continua valendo!

< cos 2 ⁡ ω t + ϕ 2 >         =   1 2

O que nos dá

I R =   2 c ϵ 0 E 2 cos 2 ⁡ ϕ 2 = 4 I cos 2 ⁡ ϕ 2    

Resposta

Letra a)

ϕ = Δ r λ ∙ 2 π = x + D 2 + y 2 - D 2 + y 2 λ ∙ 2 π

Letra b)

x = λ m + 1 2

Letra c)

I R =   4 I cos 2 ⁡ ϕ 2    

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